Câu hỏi

Cho a, b, c > 0. Chứng minh: a 2 + bc a + b 2 + ca b + c 2 + ab c ≤ a + b 1 + b + c 1 + c + a 1

Cho a, b, c > 0. Chứng minh: $\frac{a}{a ^{2} + bc} + \frac{b}{b ^{2} + ca} + \frac{c}{c ^{2} + ab} \leq \frac{1}{a + b} + \frac{1}{b + c} + \frac{1}{c + a}$

R. Roboctvx57

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

( 1 ) ⇔ 3 1 S 222 + 2 1 S 33 + 2 1 S 411 2 1 S 211 + S 32 + 2 1 S 311 ≤ S 21 + 3 1 S 111 2 1 S 2 + 2 3 S 11 ⇔ ( 2 1 S 211 + S 32 + 2 1 S 311 ) ( S 21 + 3 1 S 111 ) ≤ ≤ ( 2 1 S 2 + 2 3 S 11 ) ( 3 1 S 222 + 2 1 S 33 + 2 1 S 411 ) ⇔ S 431 + S 422 + S 332 + S 332 + S 53 + S 521 + S 44 + S 431 + + S 422 + S 332 + 2 S 431 + S 521 + S 431 + S 332 + S 422 ≤ S 422 + S 53 + 2 1 S 332 + 2 1 S 611 + S 431 + 3 S 332 + 2 3 S 44 + + 3 S 431 + 3 S 521 + 2 3 S 422 ⇔ S 431 + 2 1 S 332 + 2 1 S 422 ≤ 2 1 S 611 + 2 1 S 44 + S 521 (đúng theo Muirhead)

$(1) \Leftrightarrow \frac{\frac{1}{2} S _{211} + S _{32} + \frac{1}{2} S _{311}}{\frac{1}{3} S _{222} + \frac{1}{2} S _{33} + \frac{1}{2} S _{411}} \leq \frac{\frac{1}{2} S _{2} + \frac{3}{2} S _{11}}{S _{21} + \frac{1}{3} S _{111}} \Leftrightarrow (\frac{1}{2} S_{211} + S_{32} + \frac{1}{2} S_{311}) (S_{21} + \frac{1}{3} S_{111}) \leq \leq (\frac{1}{2} S_{2} + \frac{3}{2} S_{11}) (\frac{1}{3} S_{222} + \frac{1}{2} S_{33} + \frac{1}{2} S_{411}) \Leftrightarrow S_{431} + S_{422} + S_{332} + S_{332} + S_{53} + S_{521} + S_{44} + S_{431} + + S_{422} + S_{332} + 2 S_{431} + S_{521} + S_{431} + S_{332} + S_{422} \leq S_{422} + S_{53} + \frac{1}{2} S_{332} + \frac{1}{2} S_{611} + S_{431} + 3 S_{332} + \frac{3}{2} S_{44} + + 3 S_{431} + 3 S_{521} + \frac{3}{2} S_{422} \Leftrightarrow S_{431} + \frac{1}{2} S_{332} + \frac{1}{2} S_{422} \leq \frac{1}{2} S_{611} + \frac{1}{2} S_{44} + S_{521}$

(đúng theo Muirhead)

Câu hỏi tương tự

Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh: a + b + c + d 12 ≤ S = a + b 1 + a + c 1 + a + d 1 + b + c 1 + + b + d 1 + c + d 1 ≤ 4 3 ( a 1 + b 1 + c 1 + d 1 )

Xác nhận câu trả lời

Chứng minh: 3 a . 2 a + b 3 a + b + c ≥ 3 a + ab + 3 abc , ∀ a , b , c ≥ 0

Xác nhận câu trả lời

Cho a 1 , a 2 ,...a n ∈ R . Chứng minh hệ số 4 là đánh giá tốt nhất của bất đẳng thức S = a 1 2 + ( 2 a 1 + a 2 ) 2 + ... + ( n a 1 + a 2 + ... + a n ) 2 < < 4 ( a 1 2 + a 2...

Xác nhận câu trả lời

Cho a, b, c ≥ 0. Chứng minh rằng: a + b + 2 c ab + b + c + 2 a bc + c + a + 2 b ca ≤ 4 a + b + c

Xác nhận câu trả lời

Cho { a , b , c > 0 a + b + c = 1 . Chứng minh: a + bc 1 + b + ca 1 + c + ab 1 ≥ 4 27

Xác nhận câu trả lời

THÔNG TIN

DỊCH VỤ

TẢI MIỄN PHÍ ỨNG DỤNG