Câu hỏi

Cho a, b, c > 0. Chứng minh: a 2 + 7 ab + b 2 a 2 + b 2 + 7 bc + c 2 b 2 + c 2 + 7 ca + a 2 c 2 ≥ 1 (1)

Cho a, b, c > 0. Chứng minh:

$\frac{a ^{2}}{a ^{2} + 7 ab + b ^{2}} + \frac{b ^{2}}{b ^{2} + 7 bc + c ^{2}} + \frac{c ^{2}}{c ^{2} + 7 ca + a ^{2}} \geq 1$ (1)

R. Roboctvx57

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

Đặt x = a b , y = b c , z = c a , khi đó (1) trở thành: x 2 + 7 x + 1 1 + y 2 + 7 y + 1 1 + z 2 + 7 z + 1 1 ≥ 1 Do x, y, z > 0, xyz = 1 nên tồn tại m, n, p > 0 sao cho x = m 4 n 2 p 2 , y = n 4 p 2 m 2 , z = p 4 m 2 n 2 Chúng ta cần chứng minh cyc ∑ m 8 + 7 m 4 n 2 p 2 + n 4 p 4 m 4 ≥ 1 Sử dụng bất đẳng thức Holder: ( cyc ∑ m 8 + 7 m 4 n 2 p 2 + n 4 p 4 m 4 ) 2 . ( cyc ∑ m ( m 8 + 7 m 4 n 2 p 2 + n 4 p 4 ) ) ≥ ( m 3 + n 3 + p 3 ) 3 Bất đẳng thức trên được chứng minh nếu ta chứng minh được: ( m 3 + n 3 + p 3 ) 3 ≥ cyc ∑ m ( m 8 + 7 m 4 n 2 p 2 + n 4 p 4 ) ⇔ cyc ∑ ( 5 m 6 n 3 + 2 m 3 n 3 p 3 − 7 m 5 n 2 p 2 ) + + cyc ∑ ( m 6 n 3 − m 4 n 4 p ) ≥ 0 Bất đẳng thức này hiển nhiên đúng suy ra (1) được chứng minh Dấu bằng xảy ra⇔ a=b=c hoặc a, b, c thỏa mãn b a → + ∞ , c b → + ∞ và các hoán vị

Đặt $x = \frac{b}{a}, y = \frac{c}{b}, z = \frac{a}{c}$ , khi đó (1) trở thành:

$\frac{1}{x ^{2} + 7 x + 1} + \frac{1}{y ^{2} + 7 y + 1} + \frac{1}{z ^{2} + 7 z + 1} \geq 1$

Do x, y, z > 0, xyz = 1 nên tồn tại m, n, p > 0 sao cho $x = \frac{n ^{2} p ^{2}}{m ^{4}}, y = \frac{p ^{2} m ^{2}}{n ^{4}}, z = \frac{m ^{2} n ^{2}}{p ^{4}}$

Chúng ta cần chứng minh $cyc \sum \frac{m ^{4}}{m ^{8} + 7 m ^{4} n ^{2} p ^{2} + n ^{4} p ^{4}} \geq 1$

Sử dụng bất đẳng thức Holder:

$(cyc \sum \frac{m ^{4}}{m ^{8} + 7 m ^{4} n ^{2} p ^{2} + n ^{4} p ^{4}})^{2} . (cyc \sum m (m^{8} + 7 m^{4} n^{2} p^{2} + n^{4} p^{4})) \geq (m^{3} + n^{3} + p^{3})^{3}$

Bất đẳng thức trên được chứng minh nếu ta chứng minh được:

$(m^{3} + n^{3} + p^{3})^{3} \geq cyc \sum m (m^{8} + 7 m^{4} n^{2} p^{2} + n^{4} p^{4}) \Leftrightarrow cyc \sum (5 m^{6} n^{3} + 2 m^{3} n^{3} p^{3} - 7 m^{5} n^{2} p^{2}) + + cyc \sum (m^{6} n^{3} - m^{4} n^{4} p) \geq 0$

Bất đẳng thức này hiển nhiên đúng suy ra (1) được chứng minh

Dấu bằng xảy ra ⇔ a=b=c hoặc a, b, c thỏa mãn $\frac{a}{b} \to + \infty, \frac{b}{c} \to + \infty$ và các hoán vị

Câu hỏi tương tự

Cho các số a, b, c > 0 thỏa mãn ab 2 + bc 2 + ca 2 = 3 . Chứng minh rằng: 3 a + 7 + 3 b + 7 + 3 c + 7 ≤ 2 ( a 4 + b 4 + c 4 )

Xác nhận câu trả lời

Cho { a , b , c ≥ 0 Min { a + b ; b + c ; c + a } > 0 . Chứng minh: 3 b + c a + 3 c + a b + 3 a + b c ≥ 2

Xác nhận câu trả lời

Cho { a , b , c > 0 a + b + c ≤ 2 3 . Tìm Min của S = 3 a 3 + b 3 1 + 3 b 3 + c 3 1 + 3 c 3 + a 3 1

Xác nhận câu trả lời

Chứng minh: b 2 + c 2 + 2 a 2 a 2 − bc + c 2 + a 2 + 2 b 2 b 2 − ca + a 2 + b 2 + 2 c 2 c 2 − ab ≥ 0 , ∀ a , b , c ≥ 0

Xác nhận câu trả lời

Chứng minh: b + c a + c + a b + a + b c ≥ 2 3 ∀ a , b , c > 0 ( 1 )

Xác nhận câu trả lời

THÔNG TIN

DỊCH VỤ

TẢI MIỄN PHÍ ỨNG DỤNG

Chính sách bảo mật

Điều khoản và điều kiện

Cho a, b, c &gt; 0. Chứng minh: a 2 + 7 ab + b 2 a 2 ​ ​ + b 2 + 7 bc + c 2 b 2 ​ ​ + c 2 + 7 ca + a 2 c 2 ​ ​ ≥ 1 (1)

Giải thích

Câu hỏi tương tự

Cho a, b, c > 0. Chứng minh: a 2 + 7 ab + b 2 a 2 + b 2 + 7 bc + c 2 b 2 + c 2 + 7 ca + a 2 c 2 ≥ 1 (1)