Câu hỏi

Cho a, b, c > 0. Chứng minh: 2 ( 1 + a 2 ) ( 1 + b 2 ) ( 1 + c 2 ) ≥ ( 1 + a ) ( 1 + b ) ( 1 + c ) ( 1 + abc ) (1)

Cho a, b, c > 0. Chứng minh:

$2 (1 + a^{2}) (1 + b^{2}) (1 + c^{2}) \geq (1 + a) (1 + b) (1 + c) (1 + abc)$ (1)

R. Roboctvx57

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

Bổ đề: 2 ( 1 + u 2 ) 3 ≥ ( 1 + u ) 3 ( 1 + u 3 ) , ∀ u > 0 ( 2 ) ⇔ 2 ( u 6 + 3 u 4 + 3 u 2 + 1 ) ≥ ( u 3 + 3 u 2 + 3 u + 1 ) ( u 3 + 1 ) ⇔ u 6 − 3 u 5 + 3 u 4 − 2 u 3 + 3 u 2 − 3 u + 1 ≥ 0 ⇔ ( 1 + u ) 4 ( u 2 + u + 1 ) ≥ 0 Sử dụng bổ đề và bất đẳng thức Minkowski 2: [ 2 ( 1 + a 2 ) ( 1 + b 2 ) ( 1 + c 2 ) ] 3 = 2 ( 1 + a 2 ) 3 2 ( 1 + b 2 ) 3 2 ( 1 + c 2 ) 3 ≥ ( 1 + a ) 3 ( 1 + a 3 ) ( 1 + b ) 3 ( 1 + b 3 ) ( 1 + c ) 3 ( 1 + c 3 ) = ( 1 + a 3 ) ( 1 + b 3 ) ( 1 + c 3 ) [ ( 1 + a ) ( 1 + b ) ( 1 + c ) ] 3 ≥ ≥ [ ( 1 + abc ) ( 1 + a ) ( 1 + b ) ( 1 + c ) ] 3 ⇔ 2 ( 1 + a 2 ) ( 1 + b 2 ) ( 1 + c 2 ) ≥ ( 1 + a ) ( 1 + b ) ( 1 + c ) ( 1 + abc )

Bổ đề:

$2 (1 + u^{2})^{3} \geq (1 + u)^{3} (1 + u^{3}), \forall u > 0 (2) \Leftrightarrow 2 (u^{6} + 3 u^{4} + 3 u^{2} + 1) \geq (u^{3} + 3 u^{2} + 3 u + 1) (u^{3} + 1) \Leftrightarrow u^{6} - 3 u^{5} + 3 u^{4} - 2 u^{3} + 3 u^{2} - 3 u + 1 \geq 0 \Leftrightarrow (1 + u)^{4} (u^{2} + u + 1) \geq 0$

Sử dụng bổ đề và bất đẳng thức Minkowski 2:

$[2 (1 + a^{2}) (1 + b^{2}) (1 + c^{2})]^{3} = 2 (1 + a^{2})^{3} 2 (1 + b^{2})^{3} 2 (1 + c^{2})^{3} \geq (1 + a)^{3} (1 + a^{3}) (1 + b)^{3} (1 + b^{3}) (1 + c)^{3} (1 + c^{3}) = (1 + a^{3}) (1 + b^{3}) (1 + c^{3}) [(1 + a) (1 + b) (1 + c)]^{3} \geq \geq [(1 + abc) (1 + a) (1 + b) (1 + c)]^{3} \Leftrightarrow 2 (1 + a^{2}) (1 + b^{2}) (1 + c^{2}) \geq (1 + a) (1 + b) (1 + c) (1 + abc)$