Câu hỏi

Cho a, b, c > 0. b) Nếu thêm điền kiện ab + bc + ca = abc, thì ab b 2 + 2 a 2 + c b c 2 + 2 b 2 + a c a 2 + 2 c 2 ≥ 3

Cho a, b, c > 0.
b) Nếu thêm điền kiện ab + bc + ca = abc, thì
$\frac{b ^{2} + 2 a ^{2}}{ab} + \frac{c ^{2} + 2 b ^{2}}{c b} + \frac{a ^{2} + 2 c ^{2}}{a c} \geq 3$

R. Robo.Ctvx31

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

b) Ta có: 3 ( b 2 + 2 a 2 ) − ( b + 2 a ) 2 = 3 ( b 2 + 2 a 2 ) − ( b 2 + 4 a 2 + 4 ab ) = 2 ( a 2 + b 2 − 2 ab ) = 2 ( a − b ) 2 ≥ 0 ⇒ 3 ( b 2 + 2 a 2 ) ≥ ( b + 2 a ) 2 ⇒ b 2 + 2 a 2 ≥ 3 1 ( b + 2 a ) ⇒ ab b 2 + 2 a 2 ≥ ab c 3 1 ( b c + 2 c a ) Chứng minh tương tự : c b c 2 + 2 b 2 ≥ ab c 3 1 ( c a + 2 ab ) ⇒ ab b 2 + 2 a 2 + c b c 2 + 2 b 2 + a c a 2 + 2 c 2 ≥ ab c 3 1 ( 3 ab + 3 b c + 3 c a ) = 3 a c a 2 + 2 c 2 ≥ ab c 3 1 ( c a + 2 ab ) (vì ab+ba+cs = abc). Dấu "=" ⇔ a=b=c=3

b) Ta có: $3 (b^{2} + 2 a^{2}) - (b + 2 a)^{2} = 3 (b^{2} + 2 a^{2}) - (b^{2} + 4 a^{2} + 4 ab) = 2 (a^{2} + b^{2} - 2 ab) = 2 (a - b)^{2} \geq 0 \Rightarrow 3 (b^{2} + 2 a^{2}) \geq (b + 2 a)^{2} \Rightarrow b^{2} + 2 a^{2} \geq \frac{1}{3} (b + 2 a) \Rightarrow \frac{b ^{2} + 2 a ^{2}}{ab} \geq \frac{1}{ab c 3} (b c + 2 c a)$
Chứng minh tương tự : $\frac{c ^{2} + 2 b ^{2}}{c b} \geq \frac{1}{ab c 3} (c a + 2 ab) \frac{\frac{a ^{2} + 2 c ^{2}}{a c} \geq \frac{1}{ab c 3} ( c a + 2 ab )}{\Rightarrow \frac{b ^{2} + 2 a ^{2}}{ab} + \frac{c ^{2} + 2 b ^{2}}{c b} + \frac{a ^{2} + 2 c ^{2}}{a c} \geq \frac{1}{ab c 3} ( 3 ab + 3 b c + 3 c a ) = 3}$
(vì ab+ba+cs = abc).
Dấu "=" $\Leftrightarrow$ a=b=c=3