Câu hỏi

Cho a, b, c > 0; abc = 1. Chứng minh: a 4 + b 4 + c 4 + 3 ≥ 2 ( c ab + a bc + b ca ) ( 1 )

Cho a, b, c > 0; abc = 1. Chứng minh: $a^{4} + b^{4} + c^{4} + 3 \geq 2 (\frac{ab}{c} + \frac{bc}{a} + \frac{ca}{b}) (1)$

R. Roboctvx57

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

Đặt x = 3 a ; y = 3 b ; z = 3 c ⇒ xyz = 1 . Khi đó: ( 1 ) ⇔ x 12 + y 12 + z 12 + 3 x 4 y 4 z 4 ≥ 2 ( x 6 y 6 + y 6 z 6 + z 6 x 6 ) ⇔ S ( 12 ) + S ( 4 ; 4 ; 4 ) ≥ 2 S ( 6 ; 6 ) Theo Schur và Muirhead: S ( 12 ) + S ( 4 ; 4 ; 4 ) ≥ 2 S ( 8 ; 4 ) ; S ( 8 ; 4 ) ≥ S ( 6 ; 6 ) ⇒ ( đ pcm )

Đặt $x = 3 a; y = 3 b; z = 3 c \Rightarrow xyz = 1$ . Khi đó:

$(1) \Leftrightarrow x^{12} + y^{12} + z^{12} + 3 x^{4} y^{4} z^{4} \geq 2 (x^{6} y^{6} + y^{6} z^{6} + z^{6} x^{6}) \Leftrightarrow S (12) + S (4; 4; 4) \geq 2 S (6; 6)$

Theo Schur và Muirhead:

$S (12) + S (4; 4; 4) \geq 2 S (8; 4); S (8; 4) \geq S (6; 6) \Rightarrow (đ pcm)$

Câu hỏi tương tự

Cho { a , b , c ≥ 0 Min { a + b ; b + c ; c + a } > 0 . Chứng minh: 3 b + c a + 3 c + a b + 3 a + b c ≥ 2

Xác nhận câu trả lời

Cho x i ∈ ( 0 , 1 ) , i = 1 , n . Chứng minh: 1 − x 1 + 1 − x 2 + ... + 1 − x n ( x 1 + x 2 + ... + x n ) 2 ≥ ≥ ( 1 − x 1 ) 3 + ( 1 − x 2 ) 3 + ... + ( 1 − x n ) 3...

Xác nhận câu trả lời

Cho các số a, b, c ≥ 0 thỏa mãn a+b+c=3. Chứng minh: ( a 2 − ab + b 2 ) ( b 2 − bc + c 2 ) ( c 2 − ca + a 2 ) ≤ 12 ( 1 )

Xác nhận câu trả lời

Cho a, b, c thỏa mãn 1 ≤ a ≤ b ≤ c ≤ d ≤ 9 . Tìm giá trị nhỏ nhất S = ( a − 1 ) 4 + ( a b − 1 ) 4 + ( b c − 1 ) 4 + ( c d − 1 ) 4 + ( d 32 − 1 ) 4

Xác nhận câu trả lời

Chứng minh sử dụng bất đẳng thức Schur và AM - GM ta cóbất đẳng thức quan trọng: 2 q 3 + 9 r 2 ≥ 7 pqr

Xác nhận câu trả lời

THÔNG TIN

DỊCH VỤ

TẢI MIỄN PHÍ ỨNG DỤNG

Chính sách bảo mật

Điều khoản và điều kiện

Cho a, b, c &gt; 0; abc = 1. Chứng minh: a 4 + b 4 + c 4 + 3 ≥ 2 ( c ab ​ + a bc ​ + b ca ​ ) ( 1 )

Giải thích

Câu hỏi tương tự

Cho a, b, c > 0; abc = 1. Chứng minh: a 4 + b 4 + c 4 + 3 ≥ 2 ( c ab + a bc + b ca ) ( 1 )