Cho a, b, c > 0; a+b+c=3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = a 3 + 8 b 3 + c 3

Giải thích

Biến đổi S với các tham số α , β > 0 sau đó sử dụng bất đẳng thức AM - GM: S = ( a 3 + α 3 + α 3 ) + ( 8 b 3 + β 3 + β 3 ) + ( c 3 + α 3 + α 3 ) − − ( 4 α 3 + 2 β 3 ) ≥ ( 3 α 2 a + 6 β 2 b + 3 α 2 c ) − ( 4 α 3 + 2 β 3 ) = s 0 ​ Ràng buộc điều kiện S 0 là hằng số và Min S = S 0 , ta nhận được hệ điều kiện của α , β { 3 α 2 = 6 β 2 ; a = c = α 2 b = β ; a + b + c = 3 ​ ⇒ { 2 α + 2 β ​ = 3 α 2 = 2 β 2 ​ ⇔ { 4 α = 6 − β α 2 = 2 β 2 ​ ⇒ α = 4 2 ​ + 1 6 2 ​ ​ ; β = 4 2 ​ + 1 6 ​ ⇒ S ≥ 3 α 2 ( a + b + c ) − 2 ( 4 2 ​ + 1 ) β 3 = ( 4 2 ​ + 1 ) 2 9.72 ​ − ( 4 2 ​ + 1 ) 3 2 ( 4 2 ​ + 1 ) .216 ​ = ( 4 2 ​ + 1 ) 2 1080 ​