Câu hỏi

Cho a, b > 0 và x = 1 + a + a 2 1 + a , y = 1 + b + b 2 1 + b . Mệnh đềnào sau đâyđúng?

Cho a, b > 0 và $x = \frac{1 + a}{1 + a + a ^{2}}, y = \frac{1 + b}{1 + b + b ^{2}}$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?

x > y
x < y
x = y
Không so sánh được.

R. Robo.Ctvx4

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

Giả sử x < y ⇔ 1 + a + a 2 1 + a < 1 + b + b 2 1 + b ⇔ ( 1 + a ) ( 1 + b + b 2 ) < ( 1 + b ) ( 1 + a + a 2 ) ⇔ 1 + b + b 2 + a + ab + a b 2 < 1 + a + a 2 + b + ab + a 2 b ⇔ b 2 + a b 2 < a 2 + a 2 b ⇔ ( a 2 − b 2 ) + ab ( a − b ) > 0 ⇔ ( a − b ) ( a + b + ab ) > 0 luôn đúng với mọi a > b > 0. Vậy x < y. Chọn đáp án B.

Giả sử $x < y \Leftrightarrow \frac{1 + a}{1 + a + a ^{2}} < \frac{1 + b}{1 + b + b ^{2}}$

$\Leftrightarrow (1 + a) (1 + b + b^{2}) < (1 + b) (1 + a + a^{2}) \Leftrightarrow 1 + b + b^{2} + a + ab + a b^{2} < 1 + a + a^{2} + b + ab + a^{2} b \Leftrightarrow b^{2} + a b^{2} < a^{2} + a^{2} b \Leftrightarrow (a^{2} - b^{2}) + ab (a - b) > 0$