Câu hỏi

Cho 3 số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x y + yz + x z + 4 ( x 2 + y 2 + z 2 ) = 15 . Chứng minh rằng x 2 + y 2 + z 2 ≥ 3

Cho 3 số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện $x y + yz + x z + 4 (x^{2} + y^{2} + z^{2}) = 15$ . Chứng minh rằng

$x^{2} + y^{2} + z^{2} \geq 3$

T. ThuỳTrangNguyễn

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

Ta chứngminh bất đẳng thức phụ cơ bản sau x 2 + y 2 + z 2 ≥ x y + yz + x z Ta có Vậy bất đẳng thức phụ được chứng minh. Áp dụng bất đẳng thức phụ trên ta có 5 ( x 2 + y 2 + z 2 ) = 4 ( x 2 + y 2 + z 2 ) + x 2 + y 2 + z 2 ⩾ x y + yz + x z + 4 ( x 2 + y 2 + z 2 ) = 15 Nên x 2 + y 2 + z 2 ≥ 3 Dấu bằng xảy ra khi x = y = z = 1.

Ta chứng minh bất đẳng thức phụ cơ bản sau $x^{2} + y^{2} + z^{2} \geq x y + yz + x z$

Ta có

Vậy bất đẳng thức phụ được chứng minh. Áp dụng bất đẳng thức phụ trên ta có

$5 (x^{2} + y^{2} + z^{2}) = 4 (x^{2} + y^{2} + z^{2}) + x^{2} + y^{2} + z^{2} ⩾ x y + yz + x z + 4 (x^{2} + y^{2} + z^{2}) = 15$

Nên $x^{2} + y^{2} + z^{2} \geq 3$ Dấu bằng xảy ra khi x = y = z = 1.

Câu hỏi tương tự

Cho a, b,c > 0. Chứng minh bất đẳng thức: b + c a 2 + c + a b 2 + a + b c 2 ≥ 2 a + b + c

Xác nhận câu trả lời

Cho 2n số thực tùy ý a 1 , a 2 , ... , a n , b 1 , b 2 , ... , b n . Chứng minh: ( a 1 2 + a 2 2 + ... + a n 2 ) ( b 1 2 + b 2 2 + ... + b n 2 ) ≥ ≥ ( a 1 b 1 + a 2 b ...

Xác nhận câu trả lời

Cho các số dương x, y. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : p = ( 2 x + y ) 3 + 1 − 1 2 + ( x + 2 y ) 3 + 1 − 1 2 + + 4 ( 2 x + y ) ( x + 2 y ) − 3 ( x + y ) 8

Xác nhận câu trả lời

Có 3 dống sỏi có k, m, n viên sỏi. Hai người cùng chơi trò chơi sau: Người thứ nhất chọn ra một đống sỏi và bốc đi một số sỏi tuỳ ý (ít nhất là 1 viên sỏi); sau đó đến lượt người thứ hai chọn ra một đ...

Xác nhận câu trả lời

Cho x, y, z thỏa mãn x 2 + y 2 + z 2 = 1 Chứng minh rằng 1 + 2 yz x 2 + 1 + 2 x z y 2 + 1 + 2 x y z 2 ⩾ 5 3

Xác nhận câu trả lời