Câu hỏi

Cho 3 số tự nhiên a, b, c. Chứng minh rằng: a a . b b . c c ≥ ( 3 a + b + c ) a + b + c ≥ 2 a + b + c ( b + c ) a ( c + a ) b ( a + b ) c

Cho 3 số tự nhiên a, b, c. Chứng minh rằng:

$a^{a} . b^{b} . c^{c} \geq (\frac{a + b + c}{3})^{a + b + c} \geq \frac{( b + c ) ^{a} ( c + a ) ^{b} ( a + b ) ^{c}}{2 ^{a + b + c}}$

R. Roboctvx53

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

Theo bất đẳng thức Cauchy ta có: a + b + c ( b + c ) a ( c + a ) b ( a + b ) c ≤ a + b + c a l a ^ ˋ n [ ( b + c ) + ... + ( b + c ) ] + b l a ^ ˋ n [ ( c + a ) + ... + ( c + a ) ] + a + b + c c l a ^ ˋ n [ ( a + b ) + ... + ( a + b ) ] ⇔ ( b + c ) a . ( c + a ) b . ( a + b ) c ≤ ( a + b + c 2 ( ab + b c + c a ) ) a + b + c ⇔ 2 a + b + c ( b + c ) a ( c + a ) b ( a + b ) c ≤ ( a + b + c ab + b c + c a ) a + b + c Dễ thấy a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + b c + c a ⇒ ( a + b + c ) 2 ≥ 3 ( ab + b c + c a ) ⇒ ( a + b + c ab + b c + c a ) ≤ 3 a + b + c ⇒ ( a + b + c ab + b c + c a ) a + b + c ≤ ( 3 a + b + c ) a + b + c Vậy 2 a + b + c ( b + c ) a ( c + a ) b ( a + b ) c ≤ ( 3 a + b + c ) a + b + c Dấu băng xảy ra ⇔ a = b = c Theo bất đẳng thức Cauchyta có: ( a 1 ) a ( b 1 ) b ( c 1 ) c ≤ ⎝ ⎛ a + b + c a l a ^ n ( a 1 + ... + a 1 ) + b l a ^ ˋ n ( b 1 + .. + b 1 ) + c l a ^ ˋ n ( c 1 + ... + c 1 ) ⎠ ⎞ a + b + c = ( a + b + c 3 ) a + b + c ⇒ a a b b c c ≥ ( 3 a + b + c ) a + b + c Dấu bằng xảy ra ⇔ a = b = c

Theo bất đẳng thức Cauchy ta có:

$a + b + c (b + c)^{a} (c + a)^{b} (a + b)^{c} \leq \frac{a l a ^ ˋ n [ ( b + c ) + ... + ( b + c ) ] + b l a ^ ˋ n [ ( c + a ) + ... + ( c + a ) ]}{a + b + c} + \frac{c l a ^ ˋ n [ ( a + b ) + ... + ( a + b ) ]}{a + b + c} \Leftrightarrow (b + c)^{a} . (c + a)^{b} . (a + b)^{c} \leq (\frac{2 ( ab + b c + c a )}{a + b + c})^{a + b + c} \Leftrightarrow \frac{( b + c ) ^{a} ( c + a ) ^{b} ( a + b ) ^{c}}{2 ^{a + b + c}} \leq (\frac{ab + b c + c a}{a + b + c})^{a + b + c}$

Dễ thấy $a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq ab + b c + c a$

$\Rightarrow (a + b + c)^{2} \geq 3 (ab + b c + c a) \Rightarrow (\frac{ab + b c + c a}{a + b + c}) \leq \frac{a + b + c}{3} \Rightarrow (\frac{ab + b c + c a}{a + b + c})^{a + b + c} \leq (\frac{a + b + c}{3})^{a + b + c}$

Vậy $\frac{( b + c ) ^{a} ( c + a ) ^{b} ( a + b ) ^{c}}{2 ^{a + b + c}} \leq (\frac{a + b + c}{3})^{a + b + c}$

Dấu băng xảy ra $\Leftrightarrow a = b = c$

Theo bất đẳng thức Cauchyta có:

$(\frac{1}{a})^{a} (\frac{1}{b})^{b} (\frac{1}{c})^{c} \leq ⎝ ⎛ \frac{a l a ^ n ( \frac{1}{a} + ... + \frac{1}{a} ) + b l a ^ ˋ n ( \frac{1}{b} + .. + \frac{1}{b} ) + c l a ^ ˋ n ( \frac{1}{c} + ... + \frac{1}{c} )}{a + b + c} ⎠ ⎞^{a + b + c} = (\frac{3}{a + b + c})^{a + b + c} \Rightarrow a^{a} b^{b} c^{c} \geq (\frac{a + b + c}{3})^{a + b + c}$

Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow a = b = c$

Câu hỏi tương tự

Cho tứ diện SABC có cạnh SAvuông góc với mặt phẳng (ABC), nhị diện cạnh SB là nhị diện vuông. Biết SB = a 2 ; góc BSC=45 ; ASB = Chứng minh BC vuông góc với SB. Từ đó xác địnhtâm và bán kính mặt ...

Xác nhận câu trả lời

Chứng minh bất đẳng thức sau: 10 2 1 < 2 1 . 4 3 . 6 5 ... 100 99 < 12 1

Xác nhận câu trả lời

Các nút lưới của lưới ô vuông được tô bằng ba màu Chứng minh rằng tồn tại một tam giác vuông cân với ba đỉnh cùng màu

Xác nhận câu trả lời

Cho đồ thị hàm số ( C ) : y = x 3 − 3x + 3 . Khẳng định nào sau đây là sai ?

Xác nhận câu trả lời

Đồ thị hàm số y = x − 1 x 2 + 1 có bao nhiêu đường tiệm cận ?

Xác nhận câu trả lời

THÔNG TIN

DỊCH VỤ

TẢI MIỄN PHÍ ỨNG DỤNG