Cho { x , y , z > 0 x + y + z = 1 ​ . Chứng minh: x 2 + xy + y 2 z − xy ​ + x 2 + xz + z 2 y − zx ​ + y 2 + yz + z 2 x − yz ​ ≥ 2 ( 1 )

Giải thích

Đặt p = x + y + z = 1, q = xy + yz + zx và r = xyz. Suy ra xy = q − z ( x + y ) = q − z + z 2 Ta có: x 2 + xy + y 2 = ( x + y ) 2 − xy = ( x + y ) ( 1 − z ) − xy = x + y − q = 1 − z − q Tương tự: y 2 + yz + z 2 = 1 − x − q , x 2 + xz + z 2 = 1 − y − q Để ý: x 2 y 2 + y 2 z 2 + z 2 x 2 = q 2 − 2 r , x 2 ( y + z ) + y 2 ( z + x ) + z 2 ( x + y ) = q − 3 r ( 1 ) ⇔ 1 − z − q z − xy ​ + 1 − y − q y − zx ​ + 1 − x − q x − yz ​ ≥ 2 ⇔ cyc ∑ ​ ( 1 − q ) q 2 − r [ ( 1 − q ) 2 + xy − ( x + y ) ( 1 − q ) ] ( z − xy ) ​ ≥ 2 ⇔ ( 1 − q ) q 2 − r ( 1 − q ) 3 − 2 q ( 1 − q ) + 3 r + ( 1 − q ) ( q − 3 r ) − ( q 2 − 2 r ) ​ ≥ 2 ⇔ ( 1 − q ) 3 − ( 1 − q ) ( q + 3 r ) − q 2 + 5 r ≥ 2 [ ( 1 − q ) q 2 − r ] ⇔ q 3 + q 2 − 4 q + 3 qr + 4 r + 1 ≥ 0 ⇔ 9 q 3 + 9 q 2 − 36 q + 9 r ( 3 q − 4 ) + 9 ≥ 0 Theo Schur, ta có: 9 r ≥ 4 q − 1 dó đó ta chỉ cần chứng minh 9 q 3 + 9 q 2 − 36 q + 9 r ( 3 q − 4 ) + 9 ≥ 0 ⇔ ( 3 q − 1 ) ( 3 q 2 + 8 q − 5 ) ≥ 0 Bất đẳng thức này đúng vì 3 q ≤ ( x + y + z ) 2 = 1 Vậy ta có (đpcm). Đẳng thức xảy ra⇔ x=y=z= 3 1 ​