Cho { x , y , z > 0 x + y + z = 1 ​ . Chứng minh: xy + yz + zx ≥ 12 ( x 3 + y 3 + z 3 ) ( x 2 y 2 + y 2 z 2 + z 2 x 2 )

Giải thích

Đặt p = x + y + z = 1, q = xy + yz + zx và r = xyz. Khi đó (1) trở thành: q ≥ 12 [ p ( p 2 − 3 q ) + 3 r ] ( q 2 − 2 pr ) ⇔ q ≥ 12 ( 1 − 3 q + 3 r ) ( q 2 − 2 pr ) ( 2 ) Do pq ≥ 9 r n e ^ n 3 r ≤ 3 q ​ , suy ra 12 ( 1 − 3 q + 3 r ) ( q 2 − 2 pr ) ≤ 12 ( 1 − 3 q + 3 q ​ ) q 2 = 4 q 2 ( 2 − 8 q ) Để chứng minh (2) ta chỉ cần chứng minh: 4 q ( 3 − 8 q ) ≤ 1 ⇔ ( 1 − 4 q ) ( 1 − 8 q ) ≥ 0 Bất đẳng thức cuối đúng với mọi q ≥ 4 1 ​ , vậy ta chỉ cần chứng minh(2) với 0 ≤ q ≤ 4 1 ​ Bất đẳng thức (2) ⇔ q ≥ 12 q 2 ( 1 − 3 q ) + 12 r ( 3 q 2 + 6 q − 2 ) − 72 r 2 Ta có: 3 q 2 + 6 q − 2 < 0 , ∀0 ≤ q ≤ 4 1 ​ , do đó ta chỉ cần chứng minh q ≥ 12 q 2 ( 1 − 3 q ) ( 3 ) Thật vậy, theo AM - GM 12 q ( 1 − 3 q ) = 4.3 q ( 1 − 3 q ) ≤ [ 3 q + ( 1 − 3 q ) ] 2 = 1 ⇒ ( 3 ) đúng Dấu bằng xảy ra ⇔ ( x , y , z ) ∼ ( 2 3 ​ 3 ​ + 1 ​ ; 2 3 ​ 3 ​ − 1 ​ ; 0 ) ho ặ c ( x , y , z ) ∼ ( 1 ; 0 ; 0 )