Câu hỏi

Cho { a , b , c > 0 a + b + c = 3 abc . Chứng minh a 3 1 + b 3 1 + c 3 1 ≥ 3 ( 1 )

Cho ${a, b, c > 0 a + b + c = 3 abc$ . Chứng minh $\frac{1}{a ^{3}} + \frac{1}{b ^{3}} + \frac{1}{c ^{3}} \geq 3 (1)$

R. Roboctvx57

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

Từ a + b + c = 3abc ⇒ ab 1 + bc 1 + ca 1 = 3 Sử dụng bất đẳng thức AM - GM: 2 ( a 3 1 + b 3 1 + c 3 1 ) + 3 = ( a 3 1 + b 3 1 + 1 ) + ( b 3 1 + c 3 1 + 1 ) + ( c 3 1 + a 3 1 + 1 ) ≥ 3 ( ab 1 + bc 1 + ca 1 ) = 9

Từ a + b + c = 3abc $\Rightarrow \frac{1}{ab} + \frac{1}{bc} + \frac{1}{ca} = 3$

Sử dụng bất đẳng thức AM - GM:

$2 (\frac{1}{a ^{3}} + \frac{1}{b ^{3}} + \frac{1}{c ^{3}}) + 3 = (\frac{1}{a ^{3}} + \frac{1}{b ^{3}} + 1) + (\frac{1}{b ^{3}} + \frac{1}{c ^{3}} + 1) + (\frac{1}{c ^{3}} + \frac{1}{a ^{3}} + 1) \geq 3 (\frac{1}{ab} + \frac{1}{bc} + \frac{1}{ca}) = 9$

Câu hỏi tương tự

Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh: a + b + c + d 12 ≤ S = a + b 1 + a + c 1 + a + d 1 + b + c 1 + + b + d 1 + c + d 1 ≤ 4 3 ( a 1 + b 1 + c 1 + d 1 )

Xác nhận câu trả lời

Cho { a , b , c > 0 a + b + c = 1 . Chứng minh: a + bc 1 + b + ca 1 + c + ab 1 ≥ 4 27

Xác nhận câu trả lời

Cho các số thực a, b, c > 0. Chứng minh: 4 2 a 4 + 3 b 4 + 4 2 b 4 + 3 c 4 + 4 2 c 4 + 3 a 4 ≥ ≥ 12 5 1 ( 3 2 a 3 + 3 b 3 + 3 2 b 3 + 3 c 3 + 3 2 c 3 + 3 a 3 )

Xác nhận câu trả lời

Cho { a , b , c > 0 a + b + c = 3 . Chứng minh 2 ( ab + bc + ca ) + ab 1 + bc 1 + ca 1 ≥ 9 ( 1 )

Xác nhận câu trả lời

Cho { a , b > 0 a + b ≤ 1 . Chứng minh S = a 2 + b 2 1 + ab 1 ≥ 6

Xác nhận câu trả lời

Cho { a , b , c &gt; 0 a + b + c = 3 abc ​ . Chứng minh a 3 1 ​ + b 3 1 ​ + c 3 1 ​ ≥ 3 ( 1 )

Giải thích

Từ a + b + c = 3abc ⇒ ab 1 ​ + bc 1 ​ + ca 1 ​ = 3 Sử dụng bất đẳng thức AM - GM: 2 ( a 3 1 ​ + b 3 1 ​ + c 3 1 ​ ) + 3 = ( a 3 1 ​ + b 3 1 ​ + 1 ) + ( b 3 1 ​ + c 3 1 ​ + 1 ) + ( c 3 1 ​ + a 3 1 ​ + 1 ) ≥ 3 ( ab 1 ​ + bc 1 ​ + ca 1 ​ ) = 9

Câu hỏi tương tự

Cho { a , b , c > 0 a + b + c = 3 abc . Chứng minh a 3 1 + b 3 1 + c 3 1 ≥ 3 ( 1 )

Từ a + b + c = 3abc ⇒ ab 1 + bc 1 + ca 1 = 3 Sử dụng bất đẳng thức AM - GM: 2 ( a 3 1 + b 3 1 + c 3 1 ) + 3 = ( a 3 1 + b 3 1 + 1 ) + ( b 3 1 + c 3 1 + 1 ) + ( c 3 1 + a 3 1 + 1 ) ≥ 3 ( ab 1 + bc 1 + ca 1 ) = 9