Câu hỏi

Cho { a , b , c > 0 a + b + c = 3 . Chứng minh 2 ( ab + bc + ca ) + ab 1 + bc 1 + ca 1 ≥ 9 ( 1 )

Cho ${a, b, c > 0 a + b + c = 3$ . Chứng minh $2 (ab + bc + ca) + \frac{1}{ab} + \frac{1}{bc} + \frac{1}{ca} \geq 9 (1)$

R. Roboctvx57

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

Sử dụng bất đẳng thức AM - GM: VT ( 1 ) = ( ab + bc + ca ) + ( ab + bc + ca ) + + ab 1 + bc 1 + ca 1 ≥ 3 3 ( ab + bc + ca ) 2 ( ab 1 + bc 1 + ca 1 ) Mặt khác, ( ab + bc + ca ) 2 ≥ 3 abc ( a + b + c ) = 9 abc ⇒ VT ( 1 ) ≥ 3 3 9 abc ( ab 1 + bc 1 + ca 1 ) = 3 3 9 ( a + b + c ) = 9 ( đ pcm )

Sử dụng bất đẳng thức AM - GM:

$VT (1) = (ab + bc + ca) + (ab + bc + ca) + + \frac{1}{ab} + \frac{1}{bc} + \frac{1}{ca} \geq 3 3 (ab + bc + ca)^{2} (\frac{1}{ab} + \frac{1}{bc} + \frac{1}{ca})$

Mặt khác, $(ab + bc + ca)^{2} \geq 3 abc (a + b + c) = 9 abc$

$\Rightarrow VT (1) \geq 3 3 9 abc (\frac{1}{ab} + \frac{1}{bc} + \frac{1}{ca}) = 3 3 9 (a + b + c) = 9 (đ pcm)$

Câu hỏi tương tự

Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng: 1 + a 2 + 2 bc + 1 + b 2 + 2 ca + 1 + c 2 + 2 ab ≤ 6

Xác nhận câu trả lời

Cho { a , b , c > 0 a + b + c ≤ 1 . Chứng minh a 2 + 2 bc 1 + b 2 + 2 ca 1 + c 2 + 2 ab 1 ≥ 9

Xác nhận câu trả lời

Cho a, b, c, d > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất cảu biểu thức: S = b + d a − d + c + b d − b + a + c b − c + d + a c − a

Xác nhận câu trả lời

Cho { a , b , c ≥ 0 Min { a + b ; b + c ; c + a } > 0 . Chứng minh: b + c a + c + a b + a + b c ≥ 2

Xác nhận câu trả lời

Chứng minh rằng bc a 9 + ca b 9 + ab c 9 + abc 2 ≥ a 5 + b 5 + c 5 + 2 , ∀ a , b , c > 0 ( 1 )

Xác nhận câu trả lời

Cho { a , b , c &gt; 0 a + b + c = 3 ​ . Chứng minh 2 ( ab + bc + ca ) + ab 1 ​ + bc 1 ​ + ca 1 ​ ≥ 9 ( 1 )

Giải thích

Câu hỏi tương tự

Cho { a , b , c > 0 a + b + c = 3 . Chứng minh 2 ( ab + bc + ca ) + ab 1 + bc 1 + ca 1 ≥ 9 ( 1 )