Câu hỏi

Cho { a , b , c > 0 a + b + c = 1 . Chứng minh: a + bc 1 + b + ca 1 + c + ab 1 ≥ 4 27

Cho ${a, b, c > 0 a + b + c = 1$ . Chứng minh: $\frac{1}{a + bc} + \frac{1}{b + ca} + \frac{1}{c + ab} \geq \frac{27}{4}$

R. Roboctvx57

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

Bổ đề: ab + bc + ca ≤ 3 1 ( a + b + c ) 2 Áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu số với n = 3 ta có: a + bc 1 + b + ca 1 + c + ab 1 ≥ ( a + b + c ) + ( ab + bc + ca ) 9 ≥ ≥ ( a + b + c ) + 3 1 ( a + b + c ) 2 9 = 4 27

Bổ đề: $ab + bc + ca \leq \frac{1}{3} (a + b + c)^{2}$

Áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu số với n = 3 ta có:

$\frac{1}{a + bc} + \frac{1}{b + ca} + \frac{1}{c + ab} \geq \frac{9}{( a + b + c ) + ( ab + bc + ca )} \geq \geq \frac{9}{( a + b + c ) + \frac{1}{3} ( a + b + c ) ^{2}} = \frac{27}{4}$

Câu hỏi tương tự

Cho các số a, b, c, d ≥ 0. Chứng minh: a 3 + b 3 + c 3 + 4 ( a + b + c ) + 9 abc ≥ 8 ( ab + bc + ca ) ( 1 )

Xác nhận câu trả lời

Cho a, b, c > 0 và n ≥ 1 , n ∈ Z . Chứng minh rằng: S = n a n + b n + n b n + c n + n c n + a n ≥ n 2 ( a + b + c )

Xác nhận câu trả lời

Cho a, b, c ≥ 0. Chứng minh: a + 3 b + 2 c ab + b + 3 c + 2 a bc + c + 3 a + 2 b ca ≤ 6 a + b + c

Xác nhận câu trả lời

Cho a, b, c ∈ (0, 1]. Chứng minh a + 3 b 1 + b + 3 bc 1 + c + 3 a 1 ≥ 3 + abc 3

Xác nhận câu trả lời

Cho a, b, c > 0. Chứng minh: a 2 + b 2 + c 2 + 2 abc + 1 ≥ 2 ( ab + bc + ca )

Xác nhận câu trả lời

Cho { a , b , c &gt; 0 a + b + c = 1 ​ . Chứng minh: a + bc 1 ​ + b + ca 1 ​ + c + ab 1 ​ ≥ 4 27 ​

Giải thích

Bổ đề: ab + bc + ca ≤ 3 1 ​ ( a + b + c ) 2 Áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu số với n = 3 ta có: a + bc 1 ​ + b + ca 1 ​ + c + ab 1 ​ ≥ ( a + b + c ) + ( ab + bc + ca ) 9 ​ ≥ ≥ ( a + b + c ) + 3 1 ​ ( a + b + c ) 2 9 ​ = 4 27 ​

Câu hỏi tương tự

Cho { a , b , c > 0 a + b + c = 1 . Chứng minh: a + bc 1 + b + ca 1 + c + ab 1 ≥ 4 27

Bổ đề: ab + bc + ca ≤ 3 1 ( a + b + c ) 2 Áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu số với n = 3 ta có: a + bc 1 + b + ca 1 + c + ab 1 ≥ ( a + b + c ) + ( ab + bc + ca ) 9 ≥ ≥ ( a + b + c ) + 3 1 ( a + b + c ) 2 9 = 4 27