Câu hỏi

Cho { a , b , c > 0 a + b + c = 1 . Tìm giá trị lớn nhất củabiểu thức: S = b a a + c b b + a c c

Cho ${a, b, c > 0 a + b + c = 1$ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $S = \frac{a a}{b} + \frac{b b}{c} + \frac{c c}{a}$

RR

R. Roboctvx57

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

Không mất tính tổng quát, giảsử 0 < a ≤ b ≤ c Sử dụng bất đẳng thức hoán vị cho hai dãy sắp thứ tự sau đây { a a ≤ b b ≤ c c a 1 ≥ b 1 ≥ c 1 ta có S = b a a + c b b + a c c ≤ a a a + b b b + c c c = a + b + c = 1 Với a = b = c = 3 1 thì Max S = 1

Không mất tính tổng quát, giả sử $0 < a \leq b \leq c$

Sử dụng bất đẳng thức hoán vị cho hai dãy sắp thứ tự sau đây

${a a \leq b b \leq c c \frac{1}{a} \geq \frac{1}{b} \geq \frac{1}{c}$ ta có

$S = \frac{a a}{b} + \frac{b b}{c} + \frac{c c}{a} \leq \frac{a a}{a} + \frac{b b}{b} + \frac{c c}{c} = a + b + c = 1$

Với a = b = c = $\frac{1}{3}$ thì Max S = 1

2

Câu hỏi tương tự

Cho các số a, b, c, d > 0. Chứng minh: ( a 1 + b 1 + c 1 + d 1 ) ( a + b 1 + b + c 1 + c + d 1 + d + a 1 ) ≥ ≥ 16 Max { 1 + abcd 1 ; ac + bd 1 } ( 1 )

0

Xác nhận câu trả lời

Cho a, b, c, d >0 và a + b + c + d ≥ 2. Chứng minh rằng: a 1 + b 1 + c 1 + d 1 ≥ 3 ( 1 + a 1 + 1 + b 1 + 1 + c 1 + 1 + d 1 )

1

Xác nhận câu trả lời

Cho a, b, c, d > 0 thỏa mãn ab + bc + cd + da = 1. Chứng minh: S = b + c + d a 3 + c + d + a b 3 + d + a + b c 3 + a + b + c d 3 ≥ 3 1

1

Xác nhận câu trả lời

Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh: 3 ( a 4 + b 4 + c 4 ) + a 2 + b 2 + c 2 + 6 ≥ 6 ( a 3 + b 3 + c 3 ) ( 1 )

5

Xác nhận câu trả lời

Chứng minh: ( 1 + 3 abc ) 3 ≤ ( 1 + a ) ( 1 + b ) ( 1 + c ) ( 1 ) , ∀ a , b , c ≥ 0

0

Xác nhận câu trả lời

Cho { a , b , c &gt; 0 a + b + c = 1 ​ . Tìm giá trị lớn nhất củabiểu thức: S = b ​ a a ​ ​ + c ​ b b ​ ​ + a ​ c c ​ ​

Giải thích

Câu hỏi tương tự

Cho { a , b , c > 0 a + b + c = 1 . Tìm giá trị lớn nhất củabiểu thức: S = b a a + c b b + a c c