Câu hỏi

Cho { a , b , c , d > 0 a 2 + b 2 + c 2 + d 2 = 1 . Chứng minh: b + c + d a 2 + c + d + a b 2 + d + a + b c 2 + a + b + c d 2 ≥ 3 2

Cho ${a, b, c, d > 0 a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2} = 1$ . Chứng minh: $\frac{a ^{2}}{b + c + d} + \frac{b ^{2}}{c + d + a} + \frac{c ^{2}}{d + a + b} + \frac{d ^{2}}{a + b + c} \geq \frac{2}{3}$

R. Roboctvx57

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

Đặt: A = b + c + d ; B = c + d + a ; C = d + a + b ; D = a + b + c Không mất tính tổng quát, giả sử a ≥ b ≥ c ≥ d > 0 ⇒ { a 2 ≥ b 2 ≥ c 2 ≥ d 2 > 0 A 1 ≥ B 1 ≥ C 1 ≥ D 1 > 0 Sử dụng bất đẳng thức Chebyshev rồi AM - GM và CBS: VT ≥ 4 1 ( a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ) ( A 1 + B 1 + C 1 + D 1 ) ≥ ≥ 4 A 1 . B 1 . C 1 . D 1 = 4 ABCD 1 ≥ A + B + C + D 4 = 3 4 . a + b + c + d 1 ≥ 3 4 . 4 ( a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ) 1 = 3 2 Dấu bằng xảy ra⇔ a=b=c=d= 2 1

Đặt:

$A = b + c + d; B = c + d + a; C = d + a + b; D = a + b + c$

Không mất tính tổng quát, giả sử $a \geq b \geq c \geq d > 0 \Rightarrow {a^{2} \geq b^{2} \geq c^{2} \geq d^{2} > 0 \frac{1}{A} \geq \frac{1}{B} \geq \frac{1}{C} \geq \frac{1}{D} > 0$

Sử dụng bất đẳng thức Chebyshev rồi AM - GM và CBS:

$VT \geq \frac{1}{4} (a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2}) (\frac{1}{A} + \frac{1}{B} + \frac{1}{C} + \frac{1}{D}) \geq \geq 4 \frac{1}{A} . \frac{1}{B} . \frac{1}{C} . \frac{1}{D} = \frac{1}{4 ABCD} \geq \frac{4}{A + B + C + D} = \frac{4}{3} . \frac{1}{a + b + c + d} \geq \frac{4}{3} . \frac{1}{4 ( a ^{2} + b ^{2} + c ^{2} + d ^{2} )} = \frac{2}{3}$