Câu hỏi

Cho { a , b , c > 0 a 2 + b 2 + c 2 = 6 . Chứng minh: S = bc a + ca 2 b + ab 5 c ≥ 2 6

Cho ${a, b, c > 0 a^{2} + b^{2} + c^{2} = 6$ . Chứng minh: $S = \frac{a}{bc} + \frac{2 b}{ca} + \frac{5 c}{ab} \geq 26$

R. Roboctvx57

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

Sử dụng bất đẳng thức AM - GM: S = 3. bc a + 4. ca b + 5. ab c ≥ 12 ( 3 bc a ) 3 . ( 2 ca b ) 4 . ( ab c ) 5 = 12 3 3 2 4 12 . 12 a 6 b 4 c 2 1 6 = 3. 3 a 2 + 2. 2 b 2 + c 2 ≥ 6. 6 ( 3 a 2 ) 2 . ( 2 b 2 ) 2 . c 2 = 6. 6 3 3 2 2 a 6 b 4 c 2 ⇒ a 6 b 4 c 2 ≤ 3 3 2 2 ⇒ S ≥ 12 3 3 2 4 12 . 12 a 6 b 4 c 2 1 ≥ 12 3 3 2 4 12 . 12 3 3 2 2 12 = 12 3 6 2 6 12 = 2 6 Dấu bằng xảy ra ⇔ a = 3 ; b = 2 ; c = 1

Sử dụng bất đẳng thức AM - GM:

$S = 3. \frac{a}{bc} + 4. \frac{b}{ca} + 5. \frac{c}{ab} \geq 12 (\frac{a}{3 bc})^{3} . (\frac{b}{2 ca})^{4} . (\frac{c}{ab})^{5} = \frac{12}{12 3 ^{3} 2 ^{4}} . \frac{1}{12 a ^{6} b ^{4} c ^{2}} 6 = 3. \frac{a ^{2}}{3} + 2. \frac{b ^{2}}{2} + c^{2} \geq 6. 6 (\frac{a ^{2}}{3})^{2} . (\frac{b ^{2}}{2})^{2} . c^{2} = 6. 6 \frac{a ^{6} b ^{4} c ^{2}}{3 ^{3} 2 ^{2}} \Rightarrow a^{6} b^{4} c^{2} \leq 3^{3} 2^{2} \Rightarrow S \geq \frac{12}{12 3 ^{3} 2 ^{4}} . \frac{1}{12 a ^{6} b ^{4} c ^{2}} \geq \frac{12}{12 3 ^{3} 2 ^{4}} . \frac{12}{12 3 ^{3} 2 ^{2}} = \frac{12}{12 3 ^{6} 2 ^{6}} = 26$

Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow a = 3; b = 2; c = 1$

Câu hỏi tương tự

Cho a, b, c >0 thỏa mãn điều kiện a 3 c + b 3 a + c 3 b = abc . Chứng minh rằng: S = a 2 + ab b + b 2 + bc c + c 2 + ca b ≥ 2 9

Xác nhận câu trả lời

Cho các số a, b, c > 0. Chứng minh rằng: b 2 c 2 a 7 + c 2 a 2 b 7 + a 2 b 2 c 7 + a 2 b 2 c 2 1 ≥ a 2 bc + b 2 ca + c 2 ab + abc

Xác nhận câu trả lời

Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng: 1 + a 2 + 2 bc + 1 + b 2 + 2 ca + 1 + c 2 + 2 ab ≤ 6

Xác nhận câu trả lời

Chứng minh rằng: S = 3 a 3 + b 3 + 3 b 3 + c 3 + 3 c 3 + a 3 ≥ 3 2 ( a + b + c )

Xác nhận câu trả lời

Cho a, b, c, d >0 và a + b + c + d ≥ 2. Chứng minh rằng: a 1 + b 1 + c 1 + d 1 ≥ 3 ( 1 + a 1 + 1 + b 1 + 1 + c 1 + 1 + d 1 )

Xác nhận câu trả lời

THÔNG TIN

DỊCH VỤ

TẢI MIỄN PHÍ ỨNG DỤNG

Chính sách bảo mật

Điều khoản và điều kiện

Cho { a , b , c &gt; 0 a 2 + b 2 + c 2 = 6 ​ . Chứng minh: S = bc a ​ + ca 2 b ​ + ab 5 c ​ ≥ 2 6 ​

Giải thích

Câu hỏi tương tự

Cho { a , b , c > 0 a 2 + b 2 + c 2 = 6 . Chứng minh: S = bc a + ca 2 b + ab 5 c ≥ 2 6