Câu hỏi

Cho { a , b , c ≥ 0 Min { a + b ; b + c ; c + a } > 0 . Chứng minh: b + c a + c + a b + a + b c ≥ 2

Cho ${a, b, c \geq 0 Min {a + b; b + c; c + a} > 0$ . Chứng minh: $\frac{a}{b + c} + \frac{b}{c + a} + \frac{c}{a + b} \geq 2$

R. Roboctvx57

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

Sử dụng bất đẳng thức AM - GM: + ⎩ ⎨ ⎧ b + c a = 2 a ( b + c ) 2 a ≥ a + ( b + c ) 2 a = a + b + c 2 a c + a b = 2 b ( c + a ) 2 b ≥ b + ( c + a ) 2 b = a + b + c 2 b a + b c = 2 c ( a + b ) 2 c ≥ c + ( a + b ) 2 c = a + b + c 2 c ⇒ b + c a + c + a b + a + b c ≥ a + b + c 2 ( a + b + c ) = 2 Dấu bằng xảy ra⇔ (a, b, c) là một hoán vị của (x, x, 0) với x > 0

Sử dụng bất đẳng thức AM - GM:

$+ ⎩ ⎨ ⎧ \frac{a}{b + c} = \frac{2 a}{2 a ( b + c )} \geq \frac{2 a}{a + ( b + c )} = \frac{2 a}{a + b + c} \frac{b}{c + a} = \frac{2 b}{2 b ( c + a )} \geq \frac{2 b}{b + ( c + a )} = \frac{2 b}{a + b + c} \frac{c}{a + b} = \frac{2 c}{2 c ( a + b )} \geq \frac{2 c}{c + ( a + b )} = \frac{2 c}{a + b + c} \Rightarrow \frac{a}{b + c} + \frac{b}{c + a} + \frac{c}{a + b} \geq \frac{2 ( a + b + c )}{a + b + c} = 2$

Dấu bằng xảy ra ⇔ (a, b, c) là một hoán vị của (x, x, 0) với x > 0

Câu hỏi tương tự

Chứng minh rằng: a 1 + b 1 + c 1 ≥ 4 ( 3 a + b 1 + 3 b + c 1 + 3 c + a 1 ) ∀ a , b , c > 0

Xác nhận câu trả lời

Cho a, b, c >0 thỏa mãn điều kiện a 3 c + b 3 a + c 3 b = abc . Chứng minh rằng: S = a 2 + ab b + b 2 + bc c + c 2 + ca b ≥ 2 9

Xác nhận câu trả lời

Cho a, b, c ≥ 0. Chứng minh rằng: a 2 + bc b 3 + 2 abc + c 3 + b 2 + ca c 3 + 2 abc + a 3 + c 2 + ab a 3 + 2 abc + b 3 ≥ ≥ 2 ( a + b + c ) ( 1 )

Xác nhận câu trả lời

Cho { a , b , c > 0 a + b + c = 3 . Chứng minh 2 ( ab + bc + ca ) + ab 1 + bc 1 + ca 1 ≥ 9 ( 1 )

Xác nhận câu trả lời

Cho { a , b , c > 0 a + b + c = 3 abc . Chứng minh a 3 1 + b 3 1 + c 3 1 ≥ 3 ( 1 )

Xác nhận câu trả lời

THÔNG TIN

DỊCH VỤ

TẢI MIỄN PHÍ ỨNG DỤNG

Chính sách bảo mật

Điều khoản và điều kiện

Cho { a , b , c ≥ 0 Min { a + b ; b + c ; c + a } &gt; 0 ​ . Chứng minh: b + c a ​ ​ + c + a b ​ ​ + a + b c ​ ​ ≥ 2

Giải thích

Câu hỏi tương tự

Cho { a , b , c ≥ 0 Min { a + b ; b + c ; c + a } > 0 . Chứng minh: b + c a + c + a b + a + b c ≥ 2