Câu hỏi

Cho { a , b , c ≥ 0 Min { a + b ; b + c ; c + a } > 0 . Chứng minh: 3 b + c a + 3 c + a b + 3 a + b c ≥ 2

Cho ${a, b, c \geq 0 Min {a + b; b + c; c + a} > 0$ . Chứng minh: $3 \frac{a}{b + c} + 3 \frac{b}{c + a} + 3 \frac{c}{a + b} \geq 2$

R. Roboctvx57

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

Đặt 3 a = m ; 3 b = n ; 3 c = p ⇔ a 2 = m 3 ; b 2 = n 3 ; c 2 = p 3 Ta chứng minh: 3 b + c a ≥ n + p m ⇔ ( b + c a ) 2 ≥ ( n + p m ) 3 ⇔ ( n + p ) 3 ≥ ( b + c ) 3 ⇔ n 3 + 3 np ( n + p ) + p 3 ≥ b 2 + 2 bc + c 2 ⇔ 3 np ( n + p ) ≥ 2 bc Ta có: 3 np ( n + p ) ≥ 3 np ( 2 np ) = 6 ( np ) 3 = 6 abc ≥ 2 bc , đúng ⇒ 3 b + c a ≥ n + p m Tương tự ta có: 3 b + c a + 3 c + a b + 3 a + b c ≥ ≥ n + p m + p + m n + m + n p n + p m + p + m n + m + n p ≥ 2 ⇒ 3 b + c a + 3 c + a b + 3 a + b c ≥ 2 Dấu bằng xảy ra⇔ (a,b,c) là một hoán vị của (x,x,0) với x > 0

Đặt $3 a = m; 3 b = n; 3 c = p \Leftrightarrow a^{2} = m^{3}; b^{2} = n^{3}; c^{2} = p^{3}$

Ta chứng minh:

$3 \frac{a}{b + c} \geq \frac{m}{n + p} \Leftrightarrow (\frac{a}{b + c})^{2} \geq (\frac{m}{n + p})^{3} \Leftrightarrow (n + p)^{3} \geq (b + c)^{3} \Leftrightarrow n^{3} + 3 np (n + p) + p^{3} \geq b^{2} + 2 bc + c^{2} \Leftrightarrow 3 np (n + p) \geq 2 bc$

Ta có: $3 np (n + p) \geq 3 np (2 np) = 6 (np)^{3} = 6 abc \geq 2 bc$ , đúng $\Rightarrow 3 \frac{a}{b + c} \geq \frac{m}{n + p}$

Tương tự ta có:

$3 \frac{a}{b + c} + 3 \frac{b}{c + a} + 3 \frac{c}{a + b} \geq \geq \frac{m}{n + p} + \frac{n}{p + m} + \frac{p}{m + n} \frac{m}{n + p} + \frac{n}{p + m} + \frac{p}{m + n} \geq 2 \Rightarrow 3 \frac{a}{b + c} + 3 \frac{b}{c + a} + 3 \frac{c}{a + b} \geq 2$

Dấu bằng xảy ra ⇔ (a,b,c) là một hoán vị của (x,x,0) với x > 0

Câu hỏi tương tự

Cho a, b, c ≥ 0. Chứng minh rằng: a 2 + bc b 3 + 2 abc + c 3 + b 2 + ca c 3 + 2 abc + a 3 + c 2 + ab a 3 + 2 abc + b 3 ≥ ≥ 2 ( a + b + c ) ( 1 )

Xác nhận câu trả lời

Cho các số thực a, b, c > 0. Chứng minh: 4 2 a 4 + 3 b 4 + 4 2 b 4 + 3 c 4 + 4 2 c 4 + 3 a 4 ≥ ≥ 12 5 1 ( 3 2 a 3 + 3 b 3 + 3 2 b 3 + 3 c 3 + 3 2 c 3 + 3 a 3 )

Xác nhận câu trả lời

Cho các số a, b, c > 0 thỏa mãn ab 2 + bc 2 + ca 2 = 3 . Chứng minh rằng: 3 a + 7 + 3 b + 7 + 3 c + 7 ≤ 2 ( a 4 + b 4 + c 4 )

Xác nhận câu trả lời

Cho a, b, c > 0. Chứng minh: ( a 2 + 2 ) ( b 2 + 2 ) ( c 2 + 2 ) ≥ 9 ( ab + bc + ca ) ( 1 )

Xác nhận câu trả lời

Chứng minh rằng ∀ a , b , c ≥ 0 ta có bất đẳng thức sau luôn đúng: S = 5 a 5 + b 5 + 5 b 5 + c 5 + 5 c 5 + a 5 ≥ 5 2 ( a + b + c )

Xác nhận câu trả lời

THÔNG TIN

DỊCH VỤ

TẢI MIỄN PHÍ ỨNG DỤNG

Chính sách bảo mật

Điều khoản và điều kiện

Cho { a , b , c ≥ 0 Min { a + b ; b + c ; c + a } &gt; 0 ​ . Chứng minh: 3 b + c a ​ ​ + 3 c + a b ​ ​ + 3 a + b c ​ ​ ≥ 2

Giải thích

Câu hỏi tương tự

Cho { a , b , c ≥ 0 Min { a + b ; b + c ; c + a } > 0 . Chứng minh: 3 b + c a + 3 c + a b + 3 a + b c ≥ 2