Câu hỏi

Cho { a , b , c ≥ 0 Min { a ; b } > 0 . Chứng minh rằng: 3 a + b a + 4 4 a + b b ≥ 1 ( 1 )

Cho ${a, b, c \geq 0 Min {a; b} > 0$ . Chứng minh rằng: $3 \frac{a}{a + b} + 4 \frac{b}{4 a + b} \geq 1 (1)$

R. Roboctvx57

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

Đặt a 1 = a ; b 1 = 2 b thì (1) ⇔ 3 a 1 + 2 b 1 a 1 + 3 2 a 1 + b 1 b 1 ≥ 1 Đặt α = 3 a 1 ; β = 3 b 1 ⇔ a 2 1 = α 3 ; b 2 1 = β 3 Ta sẽ chứng minh: 3 a 1 + 2 b 1 a 1 ≥ α + 2 β α ⇔ ( a 1 + 2 b 1 a 1 ) 2 ≥ ( α + 2 β α ) 3 ⇔ ( α + 2 β ) 3 ≥ ( a 1 + 2 b 1 ) 2 ⇔ α 3 + 8 β 3 + 6 α β ( α + 2 β ) ≥ a 2 1 + 4 b 2 1 + 4 a 1 b 1 Ta có: 3 α β ( α + 2 β ) ≥ 6 2 ( α β ) 3 = 6 2 a 1 b 1 ⇒ 2 β 3 + 3 α β ( α + β 2 ) ≥ 2 a 1 b 1 ⇒ 3 a 1 + 2 b 1 a 1 ≥ α + 2 β α Tương tự ta có: 3 2 a 1 + b 1 b 1 ≥ 2 α + 2 β β Sử dụng bất đẳng thức AM - GM: + ⎩ ⎨ ⎧ 3 a 1 + 2 b 1 a 1 ≥ α + 2 β α = 2 α ( α + 2 β ) 2 α ≥ ≥ α + ( α + 2 β ) 2 α = α + β α 3 2 a 1 + b 1 b 1 ≥ 2 α + β β = 2 β ( 2 α + β ) 2 β ≥ ≥ β + ( α + 2 β ) 2 β = α + β β ⇒ 3 a 1 + 2 b 1 a 1 + 3 2 a 1 + b 1 b 1 ≥ α + β α + α + β β = 1 ⇒ ( đ pcm ) Dấu bừng xảy ra⇔ (a,b) là một hoán vị của(x, 0) với x > 0

Đặt $a_{1} = a; b_{1} = \frac{b}{2}$ thì (1) $\Leftrightarrow 3 \frac{a _{1}}{a _{1} + 2 b _{1}} + 3 \frac{b _{1}}{2 a _{1} + b _{1}} \geq 1$

Đặt $α = 3 a_{1}; β = 3 b_{1} \Leftrightarrow a^{2}_{1} = α^{3}; b^{2}_{1} = β^{3}$

Ta sẽ chứng minh:

$3 \frac{a _{1}}{a _{1} + 2 b _{1}} \geq \frac{α}{α + 2 β} \Leftrightarrow (\frac{a _{1}}{a _{1} + 2 b _{1}})^{2} \geq (\frac{α}{α + 2 β})^{3} \Leftrightarrow (α + 2 β)^{3} \geq (a_{1} + 2 b_{1})^{2} \Leftrightarrow α^{3} + 8 β^{3} + 6 α β (α + 2 β) \geq a^{2}_{1} + 4 b^{2}_{1} + 4 a_{1} b_{1}$

Ta có:

$3 α β (α + 2 β) \geq 62 (α β)^{3} = 62 a_{1} b_{1} \Rightarrow 2 β^{3} + 3 α β (α + β 2) \geq 2 a_{1} b_{1} \Rightarrow 3 \frac{a _{1}}{a _{1} + 2 b _{1}} \geq \frac{α}{α + 2 β}$

Tương tự ta có:

$3 \frac{b _{1}}{2 a _{1} + b _{1}} \geq \frac{β}{2 α + 2 β}$

Sử dụng bất đẳng thức AM - GM:

$+ ⎩ ⎨ ⎧ 3 \frac{a _{1}}{a _{1} + 2 b _{1}} \geq \frac{α}{α + 2 β} = \frac{2 α}{2 α ( α + 2 β )} \geq \geq \frac{2 α}{α + ( α + 2 β )} = \frac{α}{α + β} 3 \frac{b _{1}}{2 a _{1} + b _{1}} \geq \frac{β}{2 α + β} = \frac{2 β}{2 β ( 2 α + β )} \geq \geq \frac{2 β}{β + ( α + 2 β )} = \frac{β}{α + β} \Rightarrow 3 \frac{a _{1}}{a _{1} + 2 b _{1}} + 3 \frac{b _{1}}{2 a _{1} + b _{1}} \geq \frac{α}{α + β} + \frac{β}{α + β} = 1 \Rightarrow (đ pcm)$

Dấu bừng xảy ra ⇔ (a,b) là một hoán vị của (x, 0) với x > 0

Câu hỏi tương tự

Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh: a + b + c + d 12 ≤ S = a + b 1 + a + c 1 + a + d 1 + b + c 1 + + b + d 1 + c + d 1 ≤ 4 3 ( a 1 + b 1 + c 1 + d 1 )

Xác nhận câu trả lời

Cho { a , b , c > 0 a + b + c ≤ 1 . Chứng minh a 2 + 2 bc 1 + b 2 + 2 ca 1 + c 2 + 2 ab 1 ≥ 9

Xác nhận câu trả lời

Cho các số thực a, b, c > 0. Chứng minh: 4 2 a 4 + 3 b 4 + 4 2 b 4 + 3 c 4 + 4 2 c 4 + 3 a 4 ≥ ≥ 12 5 1 ( 3 2 a 3 + 3 b 3 + 3 2 b 3 + 3 c 3 + 3 2 c 3 + 3 a 3 )

Xác nhận câu trả lời

Cho { a , b , c > 0 a + b + c = 3 abc . Chứng minh a 3 1 + b 3 1 + c 3 1 ≥ 3 ( 1 )

Xác nhận câu trả lời

Chứng minh rằng: a 1 + b 1 + c 1 ≥ 4 ( 3 a + b 1 + 3 b + c 1 + 3 c + a 1 ) ∀ a , b , c > 0

Xác nhận câu trả lời

THÔNG TIN

DỊCH VỤ

TẢI MIỄN PHÍ ỨNG DỤNG