Câu hỏi

Cho a , b , c > 0 . a Chứng minh bất đẳng thức a 3 + b 3 + c 3 + 3 ab c ≥ a 2 b + b 2 c + c 2 a + a b 2 + b c 2 + c a 2

Cho $a, b, c > 0$ . a Chứng minh bất đẳng thức

$a^{3} + b^{3} + c^{3} + 3 ab c \geq a^{2} b + b^{2} c + c^{2} a + a b^{2} + b c^{2} + c a^{2}$

R. Robo.Ctvx7

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

Xét hàm số a 3 + b 3 + c 3 + 3 ab c − ( a 2 b + b 2 c + c 2 a + a b 2 + b c 2 + c a 2 ) Ta có f ( a , b , c ) − f ( a , 2 b + c , 2 b + c ) = ( b + c − 4 5 a ) ( b − c ) 2 Do dó, nếu a = min {a,b,c} (điều này luôn cóthể giả sử) thìta có f ( a , b , c ) ≥ f ( a , 2 b + c , 2 b + c ) Như vậy, đểchứng minh bắt dẳng thức đầu bài, ta chỉcần chứng minh f ( a , b , b ) ≥ 0 Nhưng bất đẳng thức này tương đương với a 3 + 2 b 3 + 3 a b 2 − ( a 2 b + a 2 b + b 2 a + a b 2 + b 3 + b 2 a + b 3 ) ≥ 0 ⇔ a 3 + a b 2 − 2 a 2 b ≥ 0 ⇔ a ( a − b ) 2 ≥ 0

Xét hàm số $a^{3} + b^{3} + c^{3} + 3 ab c - (a^{2} b + b^{2} c + c^{2} a + a b^{2} + b c^{2} + c a^{2})$

Ta có

$f (a, b, c) - f (a, \frac{b + c}{2}, \frac{b + c}{2}) = (b + c - \frac{5 a}{4}) (b - c)^{2}$

Do dó, nếu a = min {a,b,c} (điều này luôn có thể giả sử) thì ta có $f (a, b, c) \geq f (a, \frac{b + c}{2}, \frac{b + c}{2})$

Như vậy, để chứng minh bắt dẳng thức đầu bài, ta chỉ cần chứng minh $f (a, b, b) \geq 0$

Nhưng bất đẳng thức này tương đương với

$a^{3} + 2 b^{3} + 3 a b^{2} - (a^{2} b + a^{2} b + b^{2} a + a b^{2} + b^{3} + b^{2} a + b^{3}) \geq 0 \Leftrightarrow a^{3} + a b^{2} - 2 a^{2} b \geq 0 \Leftrightarrow a (a - b)^{2} \geq 0$

Câu hỏi tương tự

Cho a, b, c >0 thỏa mãn điều kiện a 3 c + b 3 a + c 3 b = abc . Chứng minh rằng: S = a 2 + ab b + b 2 + bc c + c 2 + ca b ≥ 2 9

Xác nhận câu trả lời

Cho các số a, b, c > 0. Chứng minh rằng: b 2 c 2 a 7 + c 2 a 2 b 7 + a 2 b 2 c 7 + a 2 b 2 c 2 1 ≥ a 2 bc + b 2 ca + c 2 ab + abc

Xác nhận câu trả lời

Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng: 1 + a 2 + 2 bc + 1 + b 2 + 2 ca + 1 + c 2 + 2 ab ≤ 6

Xác nhận câu trả lời

Cho { a , b , c > 0 a 2 + b 2 + c 2 = 6 . Chứng minh: S = bc a + ca 2 b + ab 5 c ≥ 2 6

Xác nhận câu trả lời

Chứng minh rằng: S = 3 a 3 + b 3 + 3 b 3 + c 3 + 3 c 3 + a 3 ≥ 3 2 ( a + b + c )

Xác nhận câu trả lời

THÔNG TIN

DỊCH VỤ

TẢI MIỄN PHÍ ỨNG DỤNG

Chính sách bảo mật

Điều khoản và điều kiện

Cho a , b , c &gt; 0 . a Chứng minh bất đẳng thức a 3 + b 3 + c 3 + 3 ab c ≥ a 2 b + b 2 c + c 2 a + a b 2 + b c 2 + c a 2

Giải thích

Câu hỏi tương tự

Cho a , b , c > 0 . a Chứng minh bất đẳng thức a 3 + b 3 + c 3 + 3 ab c ≥ a 2 b + b 2 c + c 2 a + a b 2 + b c 2 + c a 2