Câu hỏi

Cho x , y , z > 0 thỏa mãn x + y + z = 1 . Chứng minh x 1 + y 4 + z 9 ≥ 36

Cho $x, y, z > 0$ thỏa mãn $x + y + z = 1$ . Chứng minh $\frac{1}{x} + \frac{4}{y} + \frac{9}{z} \geq 36$

T. Nhã

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

Từ giả thiết Đ ặ t x = a + b + c a , y = a + b + c b , z = a + b + c c v ớ i a , b , c > 0 Bất đẳng thức đã cho trở thành a a + b + c + 4. b a + b + c + 9. c a + b + c ≥ 36 ha y ( a b + b 4 a ) + ( a c + c 9 a ) + ( b 4 c + c 9 b ) ≥ 22 ( ∗ ) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta được: V T ( ∗ ) ≥ 2 a b . b 4 a + 2 a c . c 9 a + 2 b 4 c . c 9 b = 22 Đ ẳ n g t h ứ c x ả y r a ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ b = 2 a c = 3 a 2 c = 3 b ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ x = 6 1 y = 3 1 z = 2 1

Từ giả thiết

$Đ ặ t x = \frac{a}{a + b + c}, y = \frac{b}{a + b + c}, z = \frac{c}{a + b + c} v ớ i a, b, c > 0$

Bất đẳng thức đã cho trở thành

$\frac{a + b + c}{a} + 4. \frac{a + b + c}{b} + 9. \frac{a + b + c}{c} \geq 36 ha y (\frac{b}{a} + \frac{4 a}{b}) + (\frac{c}{a} + \frac{9 a}{c}) + (\frac{4 c}{b} + \frac{9 b}{c}) \geq 22 (*)$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta được:

$V T (*) \geq 2 \frac{b}{a} . \frac{4 a}{b} + 2 \frac{c}{a} . \frac{9 a}{c} + 2 \frac{4 c}{b} . \frac{9 b}{c} = 22 Đ ẳ n g t h ứ c x ả y r a \Leftrightarrow ⎩ ⎨ ⎧ b = 2 a c = 3 a 2 c = 3 b \Leftrightarrow ⎩ ⎨ ⎧ x = \frac{1}{6} y = \frac{1}{3} z = \frac{1}{2}$

Câu hỏi tương tự

Cho hình hộp chữ nhật OABD.DEFG có O A = a ; OC = b ; C D = c . Gọi I là tâm hình hộp. Biểu thị vectơ B I theo ba vectơ FE , FG , F I

Xác nhận câu trả lời

Giải phương trình 4 97 − x + 4 x − 15 = 4 .

Xác nhận câu trả lời

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn ( C ) : ( x − 1 ) 2 + ( y − 3 ) 2 = 4 và điểm M(-3;1). Gọi là các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ M đến (C). Viết phương trình đường thẳng T 1 T ...

Xác nhận câu trả lời

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho các đường thẳng △ 1 : x − 2 y − 5 = 0 v a ˋ △ 2 : x + y + 3 = 0 . Tìm tọa độ điểm M thuộc △ 1 sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng △ 2 bằng 2 1 .

Xác nhận câu trả lời

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M(3; -1). Viết phương trình đường thẳng đi qua M cắt trục hoành tại A, cắt trục tung tại B sao cho O A = OB (A, B phân biệt)

Xác nhận câu trả lời

THÔNG TIN

DỊCH VỤ

TẢI MIỄN PHÍ ỨNG DỤNG