Chứng tỏ có một tiếp tuyến cố định tiếp xúc với cả họ đồ thị ( C m ​ ) : y = x − m ( m + 3 ) x − m 2 − 3 m − 9 ​

Giải thích

Điều kiện cần. Ta có y ′ = ( x − m ) 2 9 ​ . Nếu có một tiếp tuyến cố định chung cho mọi đồ thị của họ (C m ) thì hiển nhiên hệ số góc của tiếp tuyến ấy không đổi. Theo ý nghĩa hình học của đạo hàm thì ắt tồn tại điểm x sao cho y' có giá trị không phụ thuộc m. Nếu có điều đó xảy ra thì ắt phải xảy ra tại các điểm mà x − m = a ⇔ x = a + m (với a là hằng số) Tại x = a + m ta có y ′ = a 2 − 9 ​ , y = a ma + 3 a − 9 ​ , phương trình tiếp tuyến của (C m ) là y = a 2 ( x − a − m ) 9 ​ + a ma + 3 a − 9 ​ ⇔ y = a 2 [ ( 9 x − 18 a + 3 a 2 + m ( a 2 − 9 ) ] 9 ​ ( 1 ) • Điều kiện đủ. Với a 2 − 9 = 0 ⇔ a = ± 3 , ta có ( 1 ) ⇔ [ γ = 9 ( x − 3 ) y = 9 ( x + 9 ) ​ Rõ ràng γ = 9 ( x − 3 ) và γ = 9 ( x + 9 ) là các tiếp tuyến cố định của họ đồ thị (C m ) khi m thay đổi.