Chứng minh với x nguyên dương thì: x ​ + x + 1 ​ + x + 2 ​ = [ 9 x + 8 ​ ]

Giải thích

Ta sẽ chứng minh rằng: Với ∀ x ≥ 1 9 x + 8 ​ < x ​ + x + 1 ​ + x + 2 ​ Sau đó suy ra: [ x ​ + x + 1 ​ + x + 2 ​ ] = [ 9 x + 8 ​ ] Thật vậy: Theo Cauchy - Schwaz, ta có: 1. x ​ + 1. x + 1 ​ + 1. x + 2 ​ < ( 1 2 + 1 2 + 1 2 ) ( x + x + 1 + x + 2 ) ​ = 9 x + 9 ​ Ta cần chứng minh: x ​ + x + 1 ​ + x + 2 ​ > 9 x + 7 ​ Bình phương 2 vế: ⇔ VT = 3 x + 3 + 2 ( x ( x + 1 ) ​ + x ( x + 2 ) ​ + ( x + 1 ) ( x + 2 ) ​ ) > 9 x + 7 ⇔ x ( x + 1 ) ​ + x ( x + 2 ) ​ + ( x + 1 ) ( x + 2 ) ​ > 3 x + 2 Mà ( x + 1 ) x ​ > x Do đó ta chỉ cần chứng minh: ( x + 2 ) x ​ + ( x + 2 ) ( x + 1 ) ​ ≥ 2 ( x + 1 ) Áp dụng trực tiếp AM − GM ta dẫn đến cần chứng minh: ( x + 2 ) 2 x ≥ ( x + 1 ) 3 ⇔ [ ( x + 1 ) 2 − 1 ] ( x + 2 ) ≥ ( x + 1 ) 3 ⇔ ( x + 1 ) 2 ≥ x + 2 BĐT này hiển nhiên đúng nên suy ra đpcm.