Chứng minh rằng k = 1 ∑ n ​ k ( k + 1 ) 2 k 1 ​ < 1 − ln 2 , ∀ n ∈ N ∗

Giải thích

∀ x ∈ ( 0 , 1 ) ta có: 1 + x + x 2 + ... + x n − 1 = 1 − x 1 − x n ​ < 1 − x 1 ​ ∀ t ∈ ( 0 , 1 ) ta có ∫ 0 t ​ ( 1 + x + x 2 + ... + x n − 1 ) d x < ∫ 0 t ​ 1 − x 1 ​ d x ⇒ t + 2 t 2 ​ + 3 t 3 ​ + ... + n t n ​ < − ln ( 1 − t ) ∀ z ∈ ( 0 , 1 ) ta có ∫ 0 z ​ ( t + 2 t 2 ​ + 3 t 3 ​ + ... + n t n ​ ) d t < − ∫ 0 z ​ ln ( 1 − t ) d t = z + ( 1 − z ) ln ( 1 − z ) ⇔ 2 z 2 ​ + 2 × 3 z 3 ​ + 3 × 4 z 4 ​ + ... + n ( n + 1 ) z n + 1 ​ < z + ( 1 − z ) ln ( 1 − z ) Chia 2 vế cho z>0 ta có 2 z 2 ​ + 2 × 3 z 3 ​ + 3 × 4 z 4 ​ + ... + n ( n + 1 ) z n + 1 ​ < 1 + z 1 − z ​ ln ( 1 − x ) đ u ˊ n g ∀ z ∈ ( 0 , 1 ) Cho z = 2 1 ​ ta nhận được bất đẳng thức k = 1 ∑ n ​ k ( k + 1 ) 2 k 1 ​ < 1 − ln 2 , ∀ n ∈ N ∗