Câu hỏi

Chứng minh rằng với mọi a, b, c ≥ 0 ta có: b 3 + abc + c 3 a ( b + c ) 2 + c 3 + abc + a 3 b ( c + a ) 2 + a 3 + abc + b 3 c ( a + b ) 2 ≥ 2

Chứng minh rằng với mọi a, b, c $\geq$ 0 ta có:

$\frac{a ( b + c ) ^{2}}{b ^{3} + abc + c ^{3}} + \frac{b ( c + a ) ^{2}}{c ^{3} + abc + a ^{3}} + \frac{c ( a + b ) ^{2}}{a ^{3} + abc + b ^{3}} \geq 2$

R. Roboctvx57

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

Sử dụng bất đẳng thức CBS: cyc ∑ b 3 + abc + c 3 a ( b + c ) 2 = cyc ∑ a 3 ( b 3 + abc + c 3 ) a 4 ( b + c ) 2 ≥ ≥ ∑ cyc a 3 ( b 3 + abc + c 3 ) ( a 2 ( b + c ) + b 2 ( c + a ) + c 2 ( a + b ) ) 2 Ta chỉ cần chứng minh: ( a 2 ( b + c ) + b 2 ( c + a ) + c 2 ( a + b ) ) 2 ≥ cyc ∑ a 3 ( b 3 + abc + c 3 ) ⇔ ( a − b ) 2 ( b − c ) 2 ( c − a ) 2 ≥ 0 ( lu o ^ n đ u ˊ ng ) Đẳng thức xảy ra⇔ a=b, c=0 hoặc các hoán vị

Sử dụng bất đẳng thức CBS:

$cyc \sum \frac{a ( b + c ) ^{2}}{b ^{3} + abc + c ^{3}} = cyc \sum \frac{a ^{4} ( b + c ) ^{2}}{a ^{3} ( b ^{3} + abc + c ^{3} )} \geq \geq \frac{( a ^{2} ( b + c ) + b ^{2} ( c + a ) + c ^{2} ( a + b ) ) ^{2}}{\sum _{cyc} a ^{3} ( b ^{3} + abc + c ^{3} )}$

Ta chỉ cần chứng minh:

$(a^{2} (b + c) + b^{2} (c + a) + c^{2} (a + b))^{2} \geq cyc \sum a^{3} (b^{3} + abc + c^{3}) \Leftrightarrow (a - b)^{2} (b - c)^{2} (c - a)^{2} \geq 0 (lu \overset{o}{^} n đ \overset{u}{ˊ} ng)$

Đẳng thức xảy ra ⇔ a=b, c=0 hoặc các hoán vị

Câu hỏi tương tự

Cho { a , b , c > 0 ( a + b − c ) ( b + c − a ) ( c + a − b ) = 1 . Chứng minh: ( a + b ) ( a + c ) b + c − a + ( a + b ) ( a + c ) b + c − a + + ( a + b ) ( a + c ) b + c − a ≥ 4 ( a...

Xác nhận câu trả lời

Cho a, b, c >0 thỏa mãn điều kiện a 3 c + b 3 a + c 3 b = abc . Chứng minh rằng: S = a 2 + ab b + b 2 + bc c + c 2 + ca b ≥ 2 9

Xác nhận câu trả lời

Cho a, b, c > 0 và a + b + c ≤ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất cảu biểu thức: T = 3 2 a 3 + 3 b 3 + 6 c 3 1 + 3 2 b 3 + 3 b 3 + 6 a 3 1 + + 3 2 c 3 + 3 a 3 + 6 b 3 1

Xác nhận câu trả lời

Cho a, b, c ≥ 0. Chứng minh: b + c a + c + a b + a + b c ≥ 2 1 + ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) abc (1)

Xác nhận câu trả lời

Cho a, b, c > 0 thỏa mãn điều kiện 6 a + 3 b + 3 2 c = 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = a 1 + b 2 1 + c 3 1

Xác nhận câu trả lời

THÔNG TIN

DỊCH VỤ

TẢI MIỄN PHÍ ỨNG DỤNG