Câu hỏi

Chứng minh rằng ∀ a , b , c ≥ 0 ta có bất đẳng thức sau luôn đúng: S = 4 a 4 + b 4 + 4 b 4 + c 4 + 4 c 4 + a 4 ≥ 4 2 ( a + b + c )

Chứng minh rằng $\forall a, b, c \geq 0$ ta có bất đẳng thức sau luôn đúng:

$S = 4 a^{4} + b^{4} + 4 b^{4} + c^{4} + 4 c^{4} + a^{4} \geq 42 (a + b + c)$

R. Roboctvx57

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

Bổ đề: ( x + y ) 4 = x 4 + y 4 + 4 xy ( x 2 + y 2 ) + 6 x 2 y 2 x 4 + y 4 ≥ x 3 y + xy 3 = x 4 + y 4 , ∀ x , y ≥ 0 x 4 + y 4 ≥ 2 x 2 y 2 S = 4 8 1 cyc ∑ 4 a 4 + b 4 + 4 ( a 4 + b 4 ) + 3 ( a 4 + b 4 ) ≥ ≥ 4 8 1 cyc ∑ 4 a 4 + b 4 + 4 ab ( a 2 + b 2 ) + 6 a 2 b 2 = 4 8 1 [ 4 ( a + b ) 4 + 4 ( b + c ) 4 + 4 ( c + a ) 4 ] = 4 8 2 ( a + b + c ) = 4 2 ( a + b + c )

Bổ đề:

$(x + y)^{4} = x^{4} + y^{4} + 4 xy (x^{2} + y^{2}) + 6 x^{2} y^{2} x^{4} + y^{4} \geq x^{3} y + xy^{3} = x^{4} + y^{4}, \forall x, y \geq 0 x^{4} + y^{4} \geq 2 x^{2} y^{2}$

$S = \frac{1}{4 8} cyc \sum 4 a^{4} + b^{4} + 4 (a^{4} + b^{4}) + 3 (a^{4} + b^{4}) \geq \geq \frac{1}{4 8} cyc \sum 4 a^{4} + b^{4} + 4 ab (a^{2} + b^{2}) + 6 a^{2} b^{2} = \frac{1}{4 8} [4 (a + b)^{4} + 4 (b + c)^{4} + 4 (c + a)^{4}] = \frac{2}{4 8} (a + b + c) = 42 (a + b + c)$

Câu hỏi tương tự

Chứng minh rằng bc a 9 + ca b 9 + ab c 9 + abc 2 ≥ a 5 + b 5 + c 5 + 2 , ∀ a , b , c > 0 ( 1 )

Xác nhận câu trả lời

Chứng minh rằng: S = 3 a 3 + b 3 + 3 b 3 + c 3 + 3 c 3 + a 3 ≥ 3 2 ( a + b + c )

Xác nhận câu trả lời

Cho a, b, c ≥ 0. Chứng minh: a + 3 b + 2 c ab + b + 3 c + 2 a bc + c + 3 a + 2 b ca ≤ 6 a + b + c

Xác nhận câu trả lời

Cho { a , b , c > 0 abc = 1 . Chứng minh a 3 + b 3 + c 3 ≥ 2 ( b + c a + c + a b + a + b c ) ( 1 )

Xác nhận câu trả lời

Chứng minh rằng: a 1 + b 1 + c 1 ≥ 4 ( 3 a + b 1 + 3 b + c 1 + 3 c + a 1 ) ∀ a , b , c > 0

Xác nhận câu trả lời

THÔNG TIN

DỊCH VỤ

TẢI MIỄN PHÍ ỨNG DỤNG

Chính sách bảo mật

Điều khoản và điều kiện

Chứng minh rằng ∀ a , b , c ≥ 0 ta có bất đẳng thức sau luôn đúng: S = 4 a 4 + b 4 ​ + 4 b 4 + c 4 ​ + 4 c 4 + a 4 ​ ≥ 4 2 ​ ( a + b + c )

Giải thích

Câu hỏi tương tự

Chứng minh rằng ∀ a , b , c ≥ 0 ta có bất đẳng thức sau luôn đúng: S = 4 a 4 + b 4 + 4 b 4 + c 4 + 4 c 4 + a 4 ≥ 4 2 ( a + b + c )