Câu hỏi

Chứng minh rằng ∀ a , b , c ≥ 0 ta có bất đẳng thức sau luôn đúng: S = 5 a 5 + b 5 + 5 b 5 + c 5 + 5 c 5 + a 5 ≥ 5 2 ( a + b + c )

Chứng minh rằng $\forall a, b, c \geq 0$ ta có bất đẳng thức sau luôn đúng:

$S = 5 a^{5} + b^{5} + 5 b^{5} + c^{5} + 5 c^{5} + a^{5} \geq 52 (a + b + c)$

R. Roboctvx57

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

Bổ đề: ( x + y ) 5 = x 5 + y 5 + 5 xy ( x 3 + y 3 ) + 10 x 2 y 2 ( x + y ) x 5 + y 5 ≥ x 4 y + xy 4 = xy ( x 3 + y 3 ) , ∀ x , y ≥ 0 x 5 + y 5 ≥ x 3 y 2 + x 2 y 3 = x 2 y 2 ( x + y ) , ∀ x , y ≥ 0 S = 5 16 1 ( 5 16 a 5 + 16 b 5 + 5 16 b 5 + 16 c 5 + 5 16 c 5 + 16 a 5 ) = 5 16 1 cyc ∑ 5 a 5 + b 5 + 5 ( a 5 + b 5 ) + 10 ( a 5 + b 5 ) ≥ ≥ 5 16 1 cyc ∑ 5 a 5 + b 5 + 5 ab ( a 3 + b 3 ) + 10 a 2 b 2 ( a + b ) = 5 16 1 cyc ∑ 5 ( a + b ) 5 = 5 2 ( a + b + c )

Bổ đề:

$(x + y)^{5} = x^{5} + y^{5} + 5 xy (x^{3} + y^{3}) + 10 x^{2} y^{2} (x + y) x^{5} + y^{5} \geq x^{4} y + xy^{4} = xy (x^{3} + y^{3}), \forall x, y \geq 0 x^{5} + y^{5} \geq x^{3} y^{2} + x^{2} y^{3} = x^{2} y^{2} (x + y), \forall x, y \geq 0$

$S = \frac{1}{5 16} (5 16 a^{5} + 16 b^{5} + 5 16 b^{5} + 16 c^{5} + 5 16 c^{5} + 16 a^{5}) = \frac{1}{5 16} cyc \sum 5 a^{5} + b^{5} + 5 (a^{5} + b^{5}) + 10 (a^{5} + b^{5}) \geq \geq \frac{1}{5 16} cyc \sum 5 a^{5} + b^{5} + 5 ab (a^{3} + b^{3}) + 10 a^{2} b^{2} (a + b) = \frac{1}{5 16} cyc \sum 5 (a + b)^{5} = 52 (a + b + c)$

Câu hỏi tương tự

Cho a, b, c >0 thỏa mãn điều kiện a 3 c + b 3 a + c 3 b = abc . Chứng minh rằng: S = a 2 + ab b + b 2 + bc c + c 2 + ca b ≥ 2 9

Xác nhận câu trả lời

Cho các số a, b, c > 0. Chứng minh rằng: b 2 c 2 a 7 + c 2 a 2 b 7 + a 2 b 2 c 7 + a 2 b 2 c 2 1 ≥ a 2 bc + b 2 ca + c 2 ab + abc

Xác nhận câu trả lời

Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng: 1 + a 2 + 2 bc + 1 + b 2 + 2 ca + 1 + c 2 + 2 ab ≤ 6

Xác nhận câu trả lời

Cho { a , b , c > 0 a 2 + b 2 + c 2 = 6 . Chứng minh: S = bc a + ca 2 b + ab 5 c ≥ 2 6

Xác nhận câu trả lời

Chứng minh rằng: S = 3 a 3 + b 3 + 3 b 3 + c 3 + 3 c 3 + a 3 ≥ 3 2 ( a + b + c )

Xác nhận câu trả lời

THÔNG TIN

DỊCH VỤ

TẢI MIỄN PHÍ ỨNG DỤNG

Chính sách bảo mật

Điều khoản và điều kiện

Chứng minh rằng ∀ a , b , c ≥ 0 ta có bất đẳng thức sau luôn đúng: S = 5 a 5 + b 5 ​ + 5 b 5 + c 5 ​ + 5 c 5 + a 5 ​ ≥ 5 2 ​ ( a + b + c )

Giải thích

Câu hỏi tương tự

Chứng minh rằng ∀ a , b , c ≥ 0 ta có bất đẳng thức sau luôn đúng: S = 5 a 5 + b 5 + 5 b 5 + c 5 + 5 c 5 + a 5 ≥ 5 2 ( a + b + c )