Câu hỏi

Chứng minh rằng phương trình x . 2 x = 1 có nghiệm thực duy nhất trong khoảng (0,1).

Chứng minh rằng phương trình $x . 2^{x} = 1$ có nghiệm thực duy nhất trong khoảng (0,1).

R. Roboctvx124

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

Xét hàm số f ( x ) = x ⋅ 2 x − 1 trên khoảng (0,1) Ta có f ′ ( x ) = 2 x + x 2 x ln 2 = 2 x ( 1 + x ln 2 ) > 0 , ∀ x ∈ ( 0 , 1 ) . Nên hàm số f(x) đơn điệu tăng trong khoảng (0,1). Mặt khác ta lại có f ( 0 ) = − 1 ; f ( 1 ) = 1 ⇒ f ( 0 ) ⋅ f ( 1 ) = − 1 < 0 . Từ đó suy ra phương trình đã cho có nghiệm duy nhất trên khoảng (0,1).

Xét hàm số $f (x) = x \cdot 2^{x} - 1$ trên khoảng (0,1)
Ta có $f^{'} (x) = 2^{x} + x 2^{x} ln 2 = 2^{x} (1 + x ln 2) > 0, \forall x \in (0, 1)$ . Nên hàm số f(x) đơn điệu tăng trong khoảng (0,1).

Mặt khác ta lại có $f (0) = - 1; f (1) = 1 \Rightarrow f (0) \cdot f (1) = - 1 < 0$ . Từ đó suy ra phương trình đã cho có nghiệm duy nhất trên khoảng (0,1).

Câu hỏi tương tự

Cho hàm số y = x 3 + 3 x 2 − 9 x + 5 . Trong số các tiếp tuyến của đồ thị hàm số, hãy tìm tiếp tuyến có hệ số góc bé nhất

Xác nhận câu trả lời

Tìm các đường tiệm cận của hàm số y = x + x 2 − 1

Xác nhận câu trả lời

Tìm điều kiện của m để đường cong y = x 4 − 2 ( m + 1 ) x 2 + 2 m + 1 cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 3 A. m ≥ 1hoặc m = – 0,5 B. m > 2 hoặc m = 0,5 C. m < ...

Xác nhận câu trả lời

Tập xác định của hàm số y = 2 − ln e x là:

Xác nhận câu trả lời

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Tập hợp tất cả các giá trị của m để phương trình f ( cos x 1 ) =m có nghiệm thuộc ( 2 π ; 2 3 π ) khoảng

Xác nhận câu trả lời