Câu hỏi

Chứng minh rằng nếu a, b, c ≥ 0, thì: S = b 2 + 4 1 bc + c 2 a + c 2 + 4 1 ca + ca 2 b + + a 2 + 4 1 ab + b 2 a ≥ 2

Chứng minh rằng nếu a, b, c $\geq$ 0, thì:

$S = \frac{a}{b ^{2} + \frac{1}{4} bc + c ^{2}} + \frac{b}{c ^{2} + \frac{1}{4} ca + ca ^{2}} + + \frac{a}{a ^{2} + \frac{1}{4} ab + b ^{2}} \geq 2$

R. Roboctvx57

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

S ≥ a b 2 + 4 1 bc + c 2 + b c 2 + 4 1 ca + ca 2 + c a 2 + 4 1 ab + b 2 ( a + b + c ) 2 . Ta sẽ chứng minh: T = a b 2 + 4 1 bc + c 2 + b c 2 + 4 1 ca + ca 2 + + c a 2 + 4 1 ab + b 2 ≤ 2 1 ( a + b + c ) 2 Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwars ta có: T = a a ( b 2 + 4 1 bc + c 2 ) + b b ( c 2 + 4 1 ca + ca 2 ) + c c ( a 2 + 4 1 ab + b 2 ) ≤ ≤ ( a + b + c ) [ 4 3 abc + a 2 ( b + c ) + b 2 ( c + a ) + c 2 ( a + b ) ] ≤ ≤ 2 1 ( a + b + c ) 2 Trong đánh giá trên ta đã sử dụng bất đẳng thức 4 3 abc + a 2 ( b + c ) + b 2 ( c + a ) + c 2 ( a + b ) ≤ 4 1 ( a + b + c ) 2 ⇔ a 3 + b 3 + c 3 + 3 abc ≥ a 2 ( b + c ) + b 2 ( c + a ) + c 2 ( a + b ) (đúng theo Schur

S $\geq$ $\frac{( a + b + c ) ^{2}}{a b ^{2} + \frac{1}{4} bc + c ^{2} + b c ^{2} + \frac{1}{4} ca + ca ^{2} + c a ^{2} + \frac{1}{4} ab + b ^{2}}$ . Ta sẽ chứng minh:

$T = a b^{2} + \frac{1}{4} bc + c^{2} + b c^{2} + \frac{1}{4} ca + ca^{2} + + c a^{2} + \frac{1}{4} ab + b^{2} \leq \frac{1}{2} (a + b + c)^{2}$

Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwars ta có:

$T = a a (b^{2} + \frac{1}{4} bc + c^{2}) + b b (c^{2} + \frac{1}{4} ca + ca^{2}) + c c (a^{2} + \frac{1}{4} ab + b^{2}) \leq \leq (a + b + c) [\frac{3}{4} abc + a^{2} (b + c) + b^{2} (c + a) + c^{2} (a + b)] \leq \leq \frac{1}{2} (a + b + c)^{2}$

Trong đánh giá trên ta đã sử dụng bất đẳng thức

$\frac{3}{4} abc + a^{2} (b + c) + b^{2} (c + a) + c^{2} (a + b) \leq \frac{1}{4} (a + b + c)^{2} \Leftrightarrow a^{3} + b^{3} + c^{3} + 3 abc \geq a^{2} (b + c) + b^{2} (c + a) + c^{2} (a + b)$

(đúng theo Schur

Câu hỏi tương tự

Cho { a , b , c ≥ 0 Min { a + b ; b + c ; c + a } > 0 . Chứng minh: 3 b + c a + 3 c + a b + 3 a + b c ≥ 2

Xác nhận câu trả lời

Cho x i ∈ ( 0 , 1 ) , i = 1 , n . Chứng minh: 1 − x 1 + 1 − x 2 + ... + 1 − x n ( x 1 + x 2 + ... + x n ) 2 ≥ ≥ ( 1 − x 1 ) 3 + ( 1 − x 2 ) 3 + ... + ( 1 − x n ) 3...

Xác nhận câu trả lời

Cho các số a, b, c ≥ 0 thỏa mãn a+b+c=3. Chứng minh: ( a 2 − ab + b 2 ) ( b 2 − bc + c 2 ) ( c 2 − ca + a 2 ) ≤ 12 ( 1 )

Xác nhận câu trả lời

Cho a, b, c thỏa mãn 1 ≤ a ≤ b ≤ c ≤ d ≤ 9 . Tìm giá trị nhỏ nhất S = ( a − 1 ) 4 + ( a b − 1 ) 4 + ( b c − 1 ) 4 + ( c d − 1 ) 4 + ( d 32 − 1 ) 4

Xác nhận câu trả lời

Chứng minh sử dụng bất đẳng thức Schur và AM - GM ta cóbất đẳng thức quan trọng: 2 q 3 + 9 r 2 ≥ 7 pqr

Xác nhận câu trả lời

THÔNG TIN

DỊCH VỤ

TẢI MIỄN PHÍ ỨNG DỤNG

Chính sách bảo mật

Điều khoản và điều kiện

Chứng minh rằng nếu a, b, c ≥ 0, thì: S = b 2 + 4 1 ​ bc + c 2 ​ a ​ + c 2 + 4 1 ​ ca + ca 2 ​ b ​ + + a 2 + 4 1 ​ ab + b 2 ​ a ​ ≥ 2

Giải thích

Câu hỏi tương tự

Chứng minh rằng nếu a, b, c ≥ 0, thì: S = b 2 + 4 1 bc + c 2 a + c 2 + 4 1 ca + ca 2 b + + a 2 + 4 1 ab + b 2 a ≥ 2