Chứng minh rằng nếu a,b,c là các số hạng thứ p,q,r của một cấp số cộng cũng như của một cấp số nhân thì a b − c ⋅ b c − a ⋅ c a − b = 1

Giải thích

Ta c ó : b − a = d ( q − r ) ; c − b = d ( r − q ) ; c − a = d ( r − p ) M ặ t kh á c : a = u 1 ​ w p − 1 ; b = u 1 ​ w q − 1 ; c = u 1 ​ w r − 1 trong đó u 1 l à s ố h ạ ng đầ u ti ê n v à w l à c ô ng b ộ i c ủ a c ấ p s ố nh â n. Do đó : a b − c ⋅ b c − a ⋅ c a − b = a d ( q − r ) ⋅ b d ( r − p ) ⋅ c d ( p − q ) = u 1 d ( q − r ) + d ( r − p ) + d ( p − q ) ​ ⋅ w d [( q − r ) ( p − 1 ) + ( r − p ) ( q − 1 ) + ( p − q ) ( r − 1 )] ​ D ễ th ấ y r ằ ng : d ( q − r ) + d ( r − p ) + d ( p − q ) = 0 ( p − r ) ( p − 1 ) + ( r − p ) ( q − 1 ) + ( p − q ) ( r − 1 ) = 0 V ậ y a b − c . b c − a . c a − b = 1