Chứng minh rằng hai số a, b tùy ý, ta có 1 + ∣ a − b ∣ ∣ a − b ∣ ​ ≤ 1 + ∣ a ∣ ∣ a ∣ ​ + 1 + ∣ b ∣ ∣ b ∣ ​ (1) Đẳng thức xảy ra khi nào ?

Giải thích

(1) ⇔ ∣ a − b ∣ ( 1 + ∣ a ∣ + ∣ b ∣ + ∣ ab ∣ ) ≤ ( ∣ a ∣ + ∣ ab ∣ ) ( 1 + ∣ a − b ∣ ) + ( ∣ b ∣ + ∣ ab ∣ ) ( 1 + ∣ a − b ∣ ) ⇔ ∣ a − b ∣ + ∣ a ( a − b ) ∣ + ∣ b ( a − b ) ∣ + ∣ ab ∣ ∣ a − b ∣ ≤ ∣ a ∣ + ∣ b ∣ + 2 ∣ ab ∣ + 2 ∣ ab ∣ ∣ a − b ∣ + ∣ a ( a − b ) ∣ + ∣ b ( a − b ) ∣ ⇔ ∣ a − b ∣ ≤ ∣ a ∣ + ∣ b ∣ + 2 ∣ ab ∣ + ∣ ab ( a − b ) ∣ ( 2 ) Ta có : ∣ a − b ∣ = ∣ a + ( − b ) ∣ ≤ ∣ a ∣ + ∣ − b ∣ = ∣ a ∣ + ∣ b ∣ Do vậy (2) hiển nhiên đúng { ∣ a − b ∣ = ∣ a ∣ + ∣ b ∣ 2 ∣ ab ∣ + ∣ ab ( a − b ) ∣ = 0 ​ ⇔ { a = 0 b = 0 ​