Câu hỏi

Chứng minh rằng: a 2 + bc a ( b + c ) + b 2 + ca b ( c + a ) + c 2 + ab c ( a + b ) ≥ 2 , ∀ a , b , c > 0

Chứng minh rằng: $\frac{a ( b + c )}{a ^{2} + bc} + \frac{b ( c + a )}{b ^{2} + ca} + \frac{c ( a + b )}{c ^{2} + ab} \geq 2, \forall a, b, c > 0$

R. Roboctvx57

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

Sử dụng bất đẳng thức AM - GM: a 2 + bc a ( b + c ) = ( a 2 + bc ) ( ab + bc ) a ( b + c ) ≥ ≥ ( a 2 + bc ) + ( ab + bc ) 2 a ( b + c ) = ( a + b ) + ( a + c ) 2 a ( b + c ) Ta sẽ chứng minh cyc ∑ ( a + b ) ( a + c ) 2 a ( b + c ) ≥ 2 ⇔ a ( b + c ) 2 + b ( c + a ) 2 + c ( a + b ) 2 ≥ ≥ ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) ⇔ 4 abc ≥ 0

Sử dụng bất đẳng thức AM - GM:

$\frac{a ( b + c )}{a ^{2} + bc} = \frac{a ( b + c )}{( a ^{2} + bc ) ( ab + bc )} \geq \geq \frac{2 a ( b + c )}{( a ^{2} + bc ) + ( ab + bc )} = \frac{2 a ( b + c )}{( a + b ) + ( a + c )}$

Ta sẽ chứng minh

$cyc \sum \frac{2 a ( b + c )}{( a + b ) ( a + c )} \geq 2 \Leftrightarrow a (b + c)^{2} + b (c + a)^{2} + c (a + b)^{2} \geq \geq (a + b) (b + c) (c + a) \Leftrightarrow 4 abc \geq 0$

Câu hỏi tương tự

Cho { a , b > 0 a + b ≤ 1 . Chứng minh S = a 2 + b 2 1 + ab 1 ≥ 6

Xác nhận câu trả lời

Cho các số thực a, b, c > 0. Chứng minh: 4 2 a 4 + 3 b 4 + 4 2 b 4 + 3 c 4 + 4 2 c 4 + 3 a 4 ≥ ≥ 12 5 1 ( 3 2 a 3 + 3 b 3 + 3 2 b 3 + 3 c 3 + 3 2 c 3 + 3 a 3 )

Xác nhận câu trả lời

Cho { a , b , c ≥ 0 a + b + c = 3 . Chứng minh a + b + c ≥ ab + bc + ca ( 1 )

Xác nhận câu trả lời

Cho a, b, c > 0. Chứng minh: ( a 2 + 2 ) ( b 2 + 2 ) ( c 2 + 2 ) ≥ 9 ( ab + bc + ca ) ( 1 )

Xác nhận câu trả lời

Cho { a , b , c > 0 a + b + c = 3 abc . Chứng minh a 3 1 + b 3 1 + c 3 1 ≥ 3 ( 1 )

Xác nhận câu trả lời

THÔNG TIN

DỊCH VỤ

TẢI MIỄN PHÍ ỨNG DỤNG