Câu hỏi

Chứng minh rằng bc a 9 + ca b 9 + ab c 9 + abc 2 ≥ a 5 + b 5 + c 5 + 2 , ∀ a , b , c > 0 ( 1 )

Chứng minh rằng $\frac{a ^{9}}{bc} + \frac{b ^{9}}{ca} + \frac{c ^{9}}{ab} + \frac{2}{abc} \geq a^{5} + b^{5} + c^{5} + 2, \forall a, b, c > 0 (1)$

R. Roboctvx57

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

Sử dụng bất đẳng thức AM - GM: bc a 9 + ab c ≥ 2 a 5 ; ca b 9 + ab c ≥ 2 b 5 ; ab c 9 + ab c ≥ 2 c 5 ⇒ bc a 9 + ca b 9 + ab c 9 ≥ 2 ( a 5 + b 5 + c 5 ) − 3 abc ≥ ≥ a 5 + b 5 + c 5 + 3 3 a 5 . b 5 . c 5 − 3 abc Khi đó, bất đẳng thức (1) được chứng minh nếu ta chứng minh được bất đẳng thức sau: 3 3 a 5 . b 5 . c 5 − 3 abc + abc 2 ≥ 2 ⇔ 3 t 5 − 3 t 3 + t 3 2 ≥ 2 ( t = 3 abc > 0 ) ⇔ t 3 ( t − 1 ) 2 ( 3 t 6 + 6 t 5 + 6 t 4 + 6 t 3 + 5 t 2 + 4 t + 2 ) ≥ 0 ⇒ ( đ pcm ) Dấu bằng xảy ra⇔ a = b = c = 1

Sử dụng bất đẳng thức AM - GM:

$\frac{a ^{9}}{bc} + ab c \geq 2 a^{5}; \frac{b ^{9}}{ca} + ab c \geq 2 b^{5}; \frac{c ^{9}}{ab} + ab c \geq 2 c^{5} \Rightarrow \frac{a ^{9}}{bc} + \frac{b ^{9}}{ca} + \frac{c ^{9}}{ab} \geq 2 (a^{5} + b^{5} + c^{5}) - 3 abc \geq \geq a^{5} + b^{5} + c^{5} + 3 3 a^{5} . b^{5} . c^{5} - 3 abc$

Khi đó, bất đẳng thức (1) được chứng minh nếu ta chứng minh được bất đẳng thức sau:

$3 3 a^{5} . b^{5} . c^{5} - 3 abc + \frac{2}{abc} \geq 2 \Leftrightarrow 3 t^{5} - 3 t^{3} + \frac{2}{t ^{3}} \geq 2 (t = 3 abc > 0) \Leftrightarrow \frac{( t - 1 ) ^{2} ( 3 t ^{6} + 6 t ^{5} + 6 t ^{4} + 6 t ^{3} + 5 t ^{2} + 4 t + 2 )}{t ^{3}} \geq 0 \Rightarrow (đ pcm)$

Dấu bằng xảy ra ⇔ a = b = c = 1

Câu hỏi tương tự

Cho { a , b , c > 0 a + b + c = 1 . Chứng minh: a + bc 1 + b + ca 1 + c + ab 1 ≥ 4 27

Xác nhận câu trả lời

Cho a, b, c > 0. Chứng minh: a ( 1 + b ) 1 + b ( 1 + c ) 1 + c ( 1 + a ) 1 ≥ 3 abc ( 1 + 3 abc ) 3

Xác nhận câu trả lời

Chứng minh: a 3 + ( b + c ) 3 a 3 + b 3 + ( c + a ) 3 b 3 + c 3 + ( a + b ) 3 c 3 ≥ 1 , ∀ a , b , c > 0

Xác nhận câu trả lời

Chứng minh rằng: a 1 + b 1 + c 1 ≥ 4 ( 3 a + b 1 + 3 b + c 1 + 3 c + a 1 ) ∀ a , b , c > 0

Xác nhận câu trả lời

Cho a, b, c >0 thỏa mãn điều kiện a 3 c + b 3 a + c 3 b = abc . Chứng minh rằng: S = a 2 + ab b + b 2 + bc c + c 2 + ca b ≥ 2 9

Xác nhận câu trả lời

THÔNG TIN

DỊCH VỤ

TẢI MIỄN PHÍ ỨNG DỤNG

Chính sách bảo mật

Điều khoản và điều kiện

Chứng minh rằng bc a 9 ​ + ca b 9 ​ + ab c 9 ​ + abc 2 ​ ≥ a 5 + b 5 + c 5 + 2 , ∀ a , b , c &gt; 0 ( 1 )

Giải thích

Câu hỏi tương tự

Chứng minh rằng bc a 9 + ca b 9 + ab c 9 + abc 2 ≥ a 5 + b 5 + c 5 + 2 , ∀ a , b , c > 0 ( 1 )