Chứng minh các phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m : a) (1 − m 2 )(x + 1) 3 + x 2 – x – 3 = 0; b) m ( 2 cos x − 2 ​ ) = 2 sin 5 x + 1

Giải thích

Lời giải: a) (1 − m 2 )(x + 1) 3 + x 2 – x – 3 = 0 f(x) = (1 − m 2 )(x + 1) 3 + x 2 – x − 3 là hàm đa thức liên tục trên R. Do đó nó liên tục trên [-2; -1] Ta có f(−1) = −1 < 0 và f(−2) = m 2 + 2 > 0 nên f(−1).f(−2) < 0 với mọi m. Do đó, phương trình f(x) = 0 luôn có ít nhất một nghiệm trong khoảng (-2; -1) với mọi m. Nghĩa là, phương trình (1 − m 2 )(x + 1) 3 + x 2 – x – 3 = 0 luôn có nghiệm với mọi m. b) m ( 2 cos x − 2 ​ ) = 2 sin 5 x + 1 Xét hàm số f(x) = m(2cosx − 2 ​ ) - 2sin5x - 1 trên đoạn [ − 4 π ​ ; 4 π ​ ]