Câu hỏi

Chứng minh các bất đẳng thức a . ∣ a + b ∣ < ∣ 1 + ab ∣ v ớ i ∣ a ∣ < 1 , ∣ b < 1 ∣ b . n + 1 1 + n + 2 1 + .. + 2 n 1 > 2 1 v ớ i m ọ i n ∈ N ∗ c . 1 + a + b ( a + b ) ≤ 1 + a a + 1 + b b v ớ i m ọ i a ≥ 0 ; b ≥ 0

Chứng minh các bất đẳng thức
$a . ∣ a + b ∣ < ∣ 1 + ab ∣ v ớ i ∣ a ∣ < 1, ∣ b < 1 ∣ b . \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + .. + \frac{1}{2 n} > \frac{1}{2} v ớ i m ọ i n \in N * c . \frac{( a + b )}{1 + a + b} \leq \frac{a}{1 + a} + \frac{b}{1 + b} v ớ i m ọ i a \geq 0; b \geq 0$

H. Anh

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

Lời giải: a) Ta có: | a+ b| < |1+ ab| tương đương: (a + b) 2 < (1 + ab ) 2 ⇔ a 2 + 2ab + b 2 < 1+ 2ab + a 2 b 2 ⇔ a 2 b 2 + 1- a 2 - b 2 > 0 ⇔ (a 2 b 2 –a 2 ) – (b 2 -1)> 0 ⇔ a 2 .(b 2 -1) – (b 2 - 1)> 0 ⇔ (a 2 -1).(b 2 – 1) > 0 () () luôn đúng vì |a| < 1 nên a 2 < 1 hay a 2 – 1 < 0 Và |b| < 1 nên b 2 < 1 hay b 2 – 1 < 0 Do đó, ( a 2 – 1 ).(b 2 - 1 ) > 0 . Vậy với |a| < 1 và| b| < 1 thì | a+ b| < | 1+ ab |. b) Với mọi n nguyên dương, ta có: n + 1 1 ≥ n + n 1 ha y n + 1 1 ≥ 2 n 1 n + 2 1 ≥ 2 n 1 n + 3 1 ≥ 2 n 1 .. n + ( n − 1 ) 1 ≥ 2 n 1 2 n 1 = 2 n 1 Lấy vế cộng vế các bất đẳng thức trên ta được: n + 1 1 + n + 2 1 + n + 3 1 + .. + 2 n 1 ≥ 2 n 1 + 2 n 1 + .. + 2 n 1 ⇔ n + 1 1 + n + 2 1 + n + 3 1 + .. + 2 n 1 ≥ n . 2 n 1 = 2 1 Suy ra điều phải chứng minh. c) Với hai số a, b không âm ta có: 1 + a < 1 + a + b và 1 + b < 1 + a + b Do đó, ta có: 1 + a + b a < 1 + a a 1 + a + b b < 1 + b b ⇒ 1 + a + b ( a + b ) ≤ 1 + a + b a + 1 + a + b b < 1 + a a + 1 + b b Suy ra điều phải chứng minh . Dấu “=” xảy ra khi a = b = 0 .

Lời giải:

a) Ta có: | a+ b| < |1+ ab| tương đương:

(a + b)^² < (1 + ab )²

⇔ a² + 2ab + b² < 1+ 2ab + a²b²

⇔ a²b² + 1- a² - b² > 0

⇔ (a²b² –a² ) – (b² -1)> 0

⇔ a².(b² -1) – (b² - 1)> 0

⇔ (a² -1).(b² – 1) > 0 (*)

(*) luôn đúng vì |a| < 1 nên a² < 1 hay a² – 1 < 0

Và |b| < 1 nên b² < 1 hay b² – 1 < 0

Do đó, ( a² – 1 ).(b² - 1 ) > 0 .

Vậy với |a| < 1 và| b| < 1 thì | a+ b| < | 1+ ab |.

b) Với mọi n nguyên dương, ta có:

$\frac{1}{n + 1} \geq \frac{1}{n + n} ha y \frac{1}{n + 1} \geq \frac{1}{2 n} \frac{1}{n + 2} \geq \frac{1}{2 n} \frac{1}{n + 3} \geq \frac{1}{2 n} .. \frac{1}{n + ( n - 1 )} \geq \frac{1}{2 n} \frac{1}{2 n} = \frac{1}{2 n}$

Lấy vế cộng vế các bất đẳng thức trên ta được:

$\frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + \frac{1}{n + 3} + .. + \frac{1}{2 n} \geq \frac{1}{2 n} + \frac{1}{2 n} + .. + \frac{1}{2 n} \Leftrightarrow \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + \frac{1}{n + 3} + .. + \frac{1}{2 n} \geq n . \frac{1}{2 n} = \frac{1}{2}$

Suy ra điều phải chứng minh.

c) Với hai số a, b không âm ta có:

1 + a < 1 + a + b và 1 + b < 1 + a + b

Do đó, ta có:

$\frac{a}{1 + a + b} < \frac{a}{1 + a} \frac{b}{1 + a + b} < \frac{b}{1 + b} \Rightarrow \frac{( a + b )}{1 + a + b} \leq \frac{a}{1 + a + b} + \frac{b}{1 + a + b} < \frac{a}{1 + a} + \frac{b}{1 + b}$