Câu hỏi

Chứng minh bất đẳng thức sau: 10 2 1 < 2 1 . 4 3 . 6 5 ... 100 99 < 12 1

Chứng minh bất đẳng thức sau:

$\frac{1}{10 2} < \frac{1}{2} . \frac{3}{4} . \frac{5}{6} ... \frac{99}{100} < \frac{1}{12}$

R. Roboctvx53

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

Đặt A = 2 1 . 4 3 ... 100 99 , B = 3 2 . 5 4 . 7 6 ... 99 98 Vì 3 2 < 4 3 , 5 4 < 6 5 , ... , 99 98 < 100 99 nên A .2 A > A B = 100 1 ⇒ A 2 > 200 1 ⇒ A > 10 2 1 Bằng quy nạp ta có thể chứng minh được rằng: 2 1 . 4 3 ... 2 n 2 n − 1 < 3 n + 1 1 ∀ n ≥ 2 Do đó A < 3.50 + 1 1 = 151 1 < 12 1

Đặt $A = \frac{1}{2} . \frac{3}{4} ... \frac{99}{100}, B = \frac{2}{3} . \frac{4}{5} . \frac{6}{7} ... \frac{98}{99}$

Vì $\frac{2}{3} < \frac{3}{4}, \frac{4}{5} < \frac{5}{6}, ..., \frac{98}{99} < \frac{99}{100}$ nên $A .2 A > A B = \frac{1}{100}$

$\Rightarrow A^{2} > \frac{1}{200} \Rightarrow A > \frac{1}{10 2}$

Bằng quy nạp ta có thể chứng minh được rằng:

$\frac{1}{2} . \frac{3}{4} ... \frac{2 n - 1}{2 n} < \frac{1}{3 n + 1} \forall n \geq 2$

Do đó $A < \frac{1}{3.50 + 1} = \frac{1}{151} < \frac{1}{12}$

Câu hỏi tương tự

Tìm mđể tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = 3 x + 4 ( m − 1 ) x + 2 cắt đường thẳng 2x - 3y +5 = 0tại điểm có hoành độ bằng 2.

Xác nhận câu trả lời

Cho 20 số nguyên dương phân biệt ≤ 70 . Với 2 số bất kỳ trong 2 số trên ta lập hiệu giữa số lớn và số bé. Chứng minh rằng trong các hiệu đó có ít nhất 4 hiệu là bằng nhau.

Xác nhận câu trả lời

Cho 3 số a, b, c khác không thỏa mãn: 2 b c b 2 + c 2 − a 2 + 2 c a c 2 + a 2 − b 2 + 2 ab a 2 + b 2 − c 2 = 1 Chứng minh rằng hai trong 3 phân thức trên bằng 1, còn phân thức thứ 3 bằng -...

Xác nhận câu trả lời

Rút gọn biểu thức: x + 2 x − 1 + x − 2 x − 1 ( x ≥ 1 )

Xác nhận câu trả lời

Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = 2 x + 3 x 2 + 1 là ?

Xác nhận câu trả lời