Câu hỏi

Chứng minh: S = a 2 + b 2 + b 2 + c 2 + c 2 + a 2 ≥ 2 ( a + b + c ) , ∀ a , b , c ≥ 0

Chứng minh: $S = a^{2} + b^{2} + b^{2} + c^{2} + c^{2} + a^{2} \geq 2 (a + b + c)$ , $\forall a, b, c \geq 0$

R. Roboctvx57

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

Sử dụng hằng đẳng thức và đánh giá sau: ( x + y ) 2 = x 2 + y 2 + 2 xy x 2 + y 2 ≥ 2 xy S = 2 1 ( 2 a 2 + 2 b 2 + 2 b 2 + 2 c 2 + 2 c 2 + 2 a 2 ) ≥ ≥ 2 1 ( a 2 + b 2 + 2 ab + b 2 + c 2 + 2 bc + c 2 + a 2 + 2 ca ) = 2 1 [ ( a + b ) 2 + ( b + c ) 2 + ( c + a ) 2 ] = 2 1 [ ( a + b ) + ( b + c ) + ( c + a ) ] = 2 ( a + b + c )

Sử dụng hằng đẳng thức và đánh giá sau:

$(x + y)^{2} = x^{2} + y^{2} + 2 xy x^{2} + y^{2} \geq 2 xy$

$S = \frac{1}{2} (2 a^{2} + 2 b^{2} + 2 b^{2} + 2 c^{2} + 2 c^{2} + 2 a^{2}) \geq \geq \frac{1}{2} (a^{2} + b^{2} + 2 ab + b^{2} + c^{2} + 2 bc + c^{2} + a^{2} + 2 ca) = \frac{1}{2} [(a + b)^{2} + (b + c)^{2} + (c + a)^{2}] = \frac{1}{2} [(a + b) + (b + c) + (c + a)] = 2 (a + b + c)$

Câu hỏi tương tự

Cho a, b, c >0 thỏa mãn điều kiện a 3 c + b 3 a + c 3 b = abc . Chứng minh rằng: S = a 2 + ab b + b 2 + bc c + c 2 + ca b ≥ 2 9

Xác nhận câu trả lời

Cho các số a, b, c > 0. Chứng minh rằng: b 2 c 2 a 7 + c 2 a 2 b 7 + a 2 b 2 c 7 + a 2 b 2 c 2 1 ≥ a 2 bc + b 2 ca + c 2 ab + abc

Xác nhận câu trả lời

Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng: 1 + a 2 + 2 bc + 1 + b 2 + 2 ca + 1 + c 2 + 2 ab ≤ 6

Xác nhận câu trả lời

Cho { a , b , c > 0 a 2 + b 2 + c 2 = 6 . Chứng minh: S = bc a + ca 2 b + ab 5 c ≥ 2 6

Xác nhận câu trả lời

Chứng minh rằng: S = 3 a 3 + b 3 + 3 b 3 + c 3 + 3 c 3 + a 3 ≥ 3 2 ( a + b + c )

Xác nhận câu trả lời

Chứng minh: S = a 2 + b 2 ​ + b 2 + c 2 ​ + c 2 + a 2 ​ ≥ 2 ​ ( a + b + c ) , ∀ a , b , c ≥ 0

Giải thích

Câu hỏi tương tự

Chứng minh: S = a 2 + b 2 + b 2 + c 2 + c 2 + a 2 ≥ 2 ( a + b + c ) , ∀ a , b , c ≥ 0