Chứng minh: b + c a ​ + c + a b ​ + a + b c ​ ≥ 2 3 ​ ∀ a , b , c > 0

Giải thích

Không mất tính tổng quát, giả sử a ≤ b ≤ c ⇒ { b + a ≥ c + a ≥ a + b b + c a ​ ≤ c + a b ​ ≤ a + b c ​ ​ Sử dụng bất đẳng thức Chebyshev cho 2 dãy đơn điệu ngược chiều: ( b + c a ​ + c + a b ​ + a + b c ​ ) [ ( b + c ) + ( c + a ) + ( a + b ) ] ≥ ≥ 3 [ b + c a ​ ( b + c ) + c + a b ​ ( c + a ) + a + b c ​ ( a + b ) ] ⇔ ( b + c a ​ + c + a b ​ + a + b c ​ ) [ 2 ( a + b + c ) ] ≥ 3 ( a + b + c ) ⇔ b + c a ​ + c + a b ​ + a + b c ​ ≥ 2 ( a + b + c ) 3 ( a + b + c ) ​ = 2 3 ​ Dấu bằng xảy ra⇔ a=b=c >0