Câu hỏi

Chứng minh: b + c a 3 + c + a b 3 + a + b c 3 ≥ 2 a 2 + b 2 + c 2 ( 1 ) ∀ a , bc , > 0

Chứng minh: $\frac{a ^{3}}{b + c} + \frac{b ^{3}}{c + a} + \frac{c ^{3}}{a + b} \geq \frac{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}{2} (1) \forall a, bc, > 0$

R. Roboctvx57

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

Không mất tính tổng quát giả sử a ≥ b ≥ c ⇒ { a 3 ≥ b 3 ≥ c 3 b + c 1 ≥ c + a 1 ≥ a + b 1 Sử dụng bất đẳng thức hoán vị: + { b + c a 3 + c + a b 3 + a + b c 3 ≥ a + b a 3 + b + c b 3 + c + a c 3 b + c a 3 + c + a b 3 + a + b c 3 ≥ c + a a 3 + a + b b 3 + b + c c 3 ⇒ VT ( 1 ) ≥ 2 1 ( a + b a 3 + b 3 + b + c b 3 + c 3 + c + a c 3 + a 3 ) = 2 1 [ ( a 2 + b 2 − ab ) + ( b 2 + c 2 − bc ) + ( c 2 + a 2 − ca ) ] ≥ ≥ ( 2 a 2 + b 2 + 2 b 2 + c 2 + 2 c 2 + a 2 ) = 2 a 2 + b 2 + c 2 ( đ pcm )

Không mất tính tổng quát giả sử $a \geq b \geq c \Rightarrow {a^{3} \geq b^{3} \geq c^{3} \frac{1}{b + c} \geq \frac{1}{c + a} \geq \frac{1}{a + b}$

Sử dụng bất đẳng thức hoán vị:

$+ {\frac{a ^{3}}{b + c} + \frac{b ^{3}}{c + a} + \frac{c ^{3}}{a + b} \geq \frac{a ^{3}}{a + b} + \frac{b ^{3}}{b + c} + \frac{c ^{3}}{c + a} \frac{a ^{3}}{b + c} + \frac{b ^{3}}{c + a} + \frac{c ^{3}}{a + b} \geq \frac{a ^{3}}{c + a} + \frac{b ^{3}}{a + b} + \frac{c ^{3}}{b + c} \Rightarrow VT (1) \geq \frac{1}{2} (\frac{a ^{3} + b ^{3}}{a + b} + \frac{b ^{3} + c ^{3}}{b + c} + \frac{c ^{3} + a ^{3}}{c + a}) = \frac{1}{2} [(a^{2} + b^{2} - ab) + (b^{2} + c^{2} - bc) + (c^{2} + a^{2} - ca)] \geq \geq (\frac{a ^{2} + b ^{2}}{2} + \frac{b ^{2} + c ^{2}}{2} + \frac{c ^{2} + a ^{2}}{2}) = \frac{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}{2} (đ pcm)$

Câu hỏi tương tự

Cho a, b, c ≥ 0. Chứng minh: 2 ( a 2 + b 2 + c 2 ) + abc + 8 ≥ 5 ( a + b + c ) ( 1 )

Xác nhận câu trả lời

Cho { x , y , z > 0 x + y + z = 1 . Chứng minh: x 2 + xy + y 2 z − xy + x 2 + xz + z 2 y − zx + y 2 + yz + z 2 x − yz ≥ 2 ( 1 )

Xác nhận câu trả lời

Cho { a , b , c > 0 a + b + c = 1 . Chứng minh: 1 − ab 1 + 1 − bc 1 + 1 − ca 1 ≤ 8 27 ( 1 )

Xác nhận câu trả lời

Cho a, b, c > 0. Chứng minh: pb + qc a + pc + qa b + pa + qb c ≥ p + q 3 ∀ a , b , c , p , q > 0

Xác nhận câu trả lời

Cho a, b, c, m, n >0 thỏa mãn điều kiện ab + bc + ca = 1. Tìm giá trị của biểu thức S = ma 2 + nb 2 + c 2 theo tham số m, n.

Xác nhận câu trả lời

THÔNG TIN

DỊCH VỤ

TẢI MIỄN PHÍ ỨNG DỤNG

Chính sách bảo mật

Điều khoản và điều kiện

Chứng minh: b + c a 3 ​ + c + a b 3 ​ + a + b c 3 ​ ≥ 2 a 2 + b 2 + c 2 ​ ( 1 ) ∀ a , bc , &gt; 0

Giải thích

Câu hỏi tương tự

Chứng minh: b + c a 3 + c + a b 3 + a + b c 3 ≥ 2 a 2 + b 2 + c 2 ( 1 ) ∀ a , bc , > 0