Câu hỏi

Chứng minh: b 2 + c 2 2 a 3 − b 3 − c 3 + c 2 + c 2 2 b 3 − c 3 − a 3 + a 2 + b 2 2 c 3 − a 3 − b 3 ≥ 0 , ∀ a , b , c > 0

Chứng minh: $\frac{2 a ^{3} - b ^{3} - c ^{3}}{b ^{2} + c ^{2}} + \frac{2 b ^{3} - c ^{3} - a ^{3}}{c ^{2} + c ^{2}} + \frac{2 c ^{3} - a ^{3} - b ^{3}}{a ^{2} + b ^{2}} \geq 0$ , $\forall a, b, c > 0$

R. Roboctvx57

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

Không mất tính tổng quát, giả sử 0 < a ≤ b ≤ c , suy ra { a 3 ≤ b 3 ≤ c 3 a 2 ≤ b 2 ≤ c 2 ⇒ { a 3 ≤ b 3 ≤ c 3 a 2 + b 2 ≤ a 2 + c 2 ≤ b 2 + c 2 ⇒ { a 3 ≤ b 3 ≤ c 3 b 2 + c 2 1 ≤ a 2 + c 2 1 ≤ a 2 + b 2 1 Sử dụng bất đẳng thức hoán vị: + ⎩ ⎨ ⎧ b 2 + c 2 a 3 + c 2 + a 2 b 3 + a 2 + b 2 c 3 ≥ ≥ a 2 + b 2 a 3 + b 2 + c 2 b 3 + c 2 + a 2 c 3 b 2 + c 2 a 3 + c 2 + a 2 b 3 + a 2 + b 2 c 3 ≥ ≥ a 2 + b 2 b 3 + b 2 + c 2 c 3 + c 2 + a 2 a 3 ⇒ b 2 + c 2 2 a 3 + c 2 + a 2 2 b 3 + a 2 + b 2 2 c 3 ≥ ≥ a 2 + b 2 a 3 + b 3 + b 2 + c 2 b 3 + c 3 + c 2 + a 2 c 3 + a 3 ⇒ ( đ pcm ) Dấu bằng xảy ra⇔ a=b=c >0

Không mất tính tổng quát, giả sử $0 < a \leq b \leq c$ , suy ra

${a^{3} \leq b^{3} \leq c^{3} a^{2} \leq b^{2} \leq c^{2} \Rightarrow {a^{3} \leq b^{3} \leq c^{3} a^{2} + b^{2} \leq a^{2} + c^{2} \leq b^{2} + c^{2} \Rightarrow {a^{3} \leq b^{3} \leq c^{3} \frac{1}{b ^{2} + c ^{2}} \leq \frac{1}{a ^{2} + c ^{2}} \leq \frac{1}{a ^{2} + b ^{2}}$

Sử dụng bất đẳng thức hoán vị:

$+ ⎩ ⎨ ⎧ \frac{a ^{3}}{b ^{2} + c ^{2}} + \frac{b ^{3}}{c ^{2} + a ^{2}} + \frac{c ^{3}}{a ^{2} + b ^{2}} \geq \geq \frac{a ^{3}}{a ^{2} + b ^{2}} + \frac{b ^{3}}{b ^{2} + c ^{2}} + \frac{c ^{3}}{c ^{2} + a ^{2}} \frac{a ^{3}}{b ^{2} + c ^{2}} + \frac{b ^{3}}{c ^{2} + a ^{2}} + \frac{c ^{3}}{a ^{2} + b ^{2}} \geq \geq \frac{b ^{3}}{a ^{2} + b ^{2}} + \frac{c ^{3}}{b ^{2} + c ^{2}} + \frac{a ^{3}}{c ^{2} + a ^{2}} \Rightarrow \frac{2 a ^{3}}{b ^{2} + c ^{2}} + \frac{2 b ^{3}}{c ^{2} + a ^{2}} + \frac{2 c ^{3}}{a ^{2} + b ^{2}} \geq \geq \frac{a ^{3} + b ^{3}}{a ^{2} + b ^{2}} + \frac{b ^{3} + c ^{3}}{b ^{2} + c ^{2}} + \frac{c ^{3} + a ^{3}}{c ^{2} + a ^{2}} \Rightarrow (đ pcm)$

Dấu bằng xảy ra ⇔ a=b=c >0

Câu hỏi tương tự

Cho a, b, c > 0; abc = 1. Chứng minh: a 4 + b 4 + c 4 + 3 ≥ 2 ( c ab + a bc + b ca ) ( 1 )

Xác nhận câu trả lời

Cho các số a, b, c ∈ R . Chứng minh: ( 1 + a 7 ) ( 1 + b 7 ) ( 1 + c 7 ) ≥ ≥ ( 1 + a 4 b 2 c ) ( 1 + b 4 c 2 a ) ( 1 + ac 4 a 2 b ) ( 1 )

Xác nhận câu trả lời

Cho a, b, c > 0. Chứng minh: a a + b 1 + b b + bc 1 + c c + a 1 ≥ 2 abc 3

Xác nhận câu trả lời

Chứng minh rằng nếu a, b, c ≥ 0, thì: S = b 2 + 4 1 bc + c 2 a + c 2 + 4 1 ca + ca 2 b + + a 2 + 4 1 ab + b 2 a ≥ 2

Xác nhận câu trả lời

Cho a 1 , a 2 ,...a n > 0 và hai số α , β >0. Chứng minh: a 1 β + a 2 β + ... + a n β a 1 α + β + a 2 α + β + ... + a n α + β ≥ n a 1 α + a 2 α + ... + a n α

Xác nhận câu trả lời

THÔNG TIN

DỊCH VỤ

TẢI MIỄN PHÍ ỨNG DỤNG