Câu hỏi

Chứng minh: 3 b a + 3 c b ≤ 3 ( a + b ) ( a 2 + b 2 ) , ∀ a , b > 0 ( 1 )

Chứng minh: $3 \frac{a}{b} + 3 \frac{b}{c} \leq 3 (a + b) (\frac{2}{a} + \frac{2}{b}), \forall a, b > 0 (1)$

R. Roboctvx57

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

( 1 ) ⇔ 3 1. a . b 1 + 3 1. b . c 1 ≤ 3 ( 1 + 1 ) ( a + b ) ( a 1 + b 1 ) ⇔ 3 ( 1 + 1 ) ( a + b ) ( a 1 + b 1 ) 1. a . b 1 + 3 ( 1 + 1 ) ( a + b ) ( b 1 + a 1 ) 1. b . a 1 ≤ 1 Ta có: VT ≤ 3 1 ⎝ ⎛ 2 1 + a + b a + a 1 + b 1 b 1 ⎠ ⎞ + 3 1 ⎝ ⎛ 2 1 + a + b a + a 1 + b 1 a 1 ⎠ ⎞ = 3 1 .3 = 1

$(1) \Leftrightarrow 3 1. a . \frac{1}{b} + 3 1. b . \frac{1}{c} \leq 3 (1 + 1) (a + b) (\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) \Leftrightarrow 3 \frac{1. a . \frac{1}{b}}{( 1 + 1 ) ( a + b ) ( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} )} + 3 \frac{1. b . \frac{1}{a}}{( 1 + 1 ) ( a + b ) ( \frac{1}{b} + \frac{1}{a} )} \leq 1$

Ta có:

$VT \leq \frac{1}{3} ⎝ ⎛ \frac{1}{2} + \frac{a}{a + b} + \frac{\frac{1}{b}}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} ⎠ ⎞ + \frac{1}{3} ⎝ ⎛ \frac{1}{2} + \frac{a}{a + b} + \frac{\frac{1}{a}}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} ⎠ ⎞ = \frac{1}{3} .3 = 1$

Câu hỏi tương tự

Cho { a , b , c ≥ 0 a 2 + b 2 + c 2 = 1 . Chứng minh: 1 − ab 1 + 1 − bc 1 + 1 − ca 1 ≤ 2 9 ( 1 )

Xác nhận câu trả lời

Cho { a 1 , a 2 , ... , a n ≥ 0 a 1 + a 2 + ... + a n = 1 . Chứng minh: a 1 2 a 2 + a 2 2 a 3 + ... + a n 2 a 1 ≤ 27 4 ∀ n ≥ 3

Xác nhận câu trả lời

Cho a, b, c > 0. Chứng minh: ( a + b + c ) ( a 1 + b 1 + c 1 ) ≥ ≥ 3 [ 1 + 3 ( ab + bc + ca ) 2 3 ( a + b + c ) ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) ] ( 1 )

Xác nhận câu trả lời

Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn xy + yz + zx + xyz = 4, chứng minh: xy + yz + zx x + y + z ≤ 1 + 48 1 ( ( x − y ) 2 + ( y − z ) 2 + ( z − x ) 2 )

Xác nhận câu trả lời

Cho a, b, c > 0. Chứng minh: 27 + ( 2 + bc a 2 ) ( 2 + ca b 2 ) ( 2 + ab c 2 ) ≥ 6 ( a + b + c ) ( a 1 + b 1 + c 1 ) (1)

Xác nhận câu trả lời