Có sáu nhà khoa học viêt thư trao đổi với nhau (mỗi người viết thư cho năm người kia) vềmột trong hai đềtài : bảo vệ môi trường và chương trình dân số. Chứng minh rằng có ít nhất ba nhà khoa học trao đổi vềcùng một đề tài.

Cho a, b là hai số nguyên và đặt P ( x ) = a x 3 + b x . Với mỗi số nguyên n, ta gọi (a, b) là một cặp n tốt, nếu từ n ∣ P ( m ) − P ( k ) , ta suy ra n ∣ m − k , với mọi m, k nguyên. Ta nói rằng cặp ...

Cho a, b, c là các số nguyên dương mà b a ​ + c b ​ + a c ​ là số nguyên dương. Chứng minh rằng abc là một lập phương đúng.

Cho k là số nguyên dương. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương n chia hết cho k sao cho tổng các chữ số của n trong biểu diễn thập phân bằng k.

Cho dãy số ( a n ​ ) xác định bởi a 0 ​ = 1 và a n + 1 ​ = 2 1 ​ ( a n ​ + 3 a n ​ 1 ​ ) , ∀ n = 0 , 1 , 2 , ... Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n, số A n ​ = 3 a n 2 ​ − 1 3 ​ là một số...

Chứng minh với mọi số a, b, c, d ta luôn có: ( a 2 + c 2 ) ( b 2 + d 2 ) ≥ ( ab + c d ) 2