Các nút lưới của lưới ô vuông được tô bằng ba màu Chứng minh rằng tồn tại một tam giác vuông cân với ba đỉnh cùng màu

Giải thích

Trước hết ta xây dựng một lưới ô vuông mới trong đó các đường lưới là các đường nối tâm của các ô vuông ban đầu. Đối với lưới ô vuông mới thì các nút lưới đã cho trở thành tâm của các ô vuông mới. Nút lưới đã cho được tômàu gì thì ta tô ô vuông mới (nhận nó làm tâm) bằng chính màu đó. Như vậy, ta đã tô các ô vuông của lưới mới bằng 3 màu và phải chứng minh rằng có 3 ô cùng màu tạo thành "một tam giác vuông cân". Ta giảsửngược lại không có 3 ô vuông nào cùng màu mà lại tạo 1 tam giác vuông cân. Trên đường chéo 1, ta xét dãy liên tiếp các hình vuông con 4 × 4. Số tất cả các cách tô màu một hình vuông con 4 × 4 là 3 16 . Do đó, nếu ta lấy một số đủ lớn các hình vuông con 4 × 4 như vậy thì ta tìm được 2 hình vuông con K 1 ,K 2 có các ô được tô giống hệt nhau (xem hình vẽ) trên 4 ô thuộc đường chéo chính của K 1 phải có 2 ô cùng màu, chẳng hạn 2 ô cùng màu l. Khi đó các ô mang màu 2 và 3 buộc phải xuất hiện như hình vẽ. Xét hình vuông T 1 có kích thước nhỏ nhất mà chứa K 1 và K 2 . Trên đường chéo chính l ta xét liên tiếp một số đủ lớn các hình vuông = T 2 . Thế thì lại tồn tại 1 hình vuông T 2 sao cho các ô vuông tương ứng của T 1 và T 2 được tô giống hệt nhau. Khi đó ô gạch chéo (xem hình vẽ) không được tổ bởi bất cứ màu nào. Điều này là vô lí. Vậy tồn tại nút lưới cùng màu là đỉnh của 1 tam giác vuông cân.