Câu hỏi

Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn ∣ z − 3 i ∣ = 5 v a ˋ z − 4 z là số thuần ảo

Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn $∣ z - 3 i ∣ = 5 v \overset{a}{ˋ} \frac{z}{z - 4}$ là số thuần ảo

0
Vô số
1
2

N. Huỳnh

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

Đáp án C + Điều kiện z  = 4 . Đặt z = x + y i ( x , y ∈ R ) Cách 1: + Ta có ∣ z − 3 i ∣ = 5 ⇔ x 2 + ( y − 3 ) 2 = 5 ⇔ x 2 + y 2 − 6 y = 16 ( 1 ) z − 4 z = x − 4 + y i x + y i = ( x − 4 ) 2 + y 2 ( x + y i ) . [ ( x − 4 ) − y i ] = ( x − 4 ) 2 + y x 2 − 4 x + y 2 − ( x − 4 ) 2 + y 4 y i + ) z − 4 z là số thuần ảo ⇔ ( x − 4 ) 2 + y 2 x 2 − 4 x + y 2 = 0 ⇔ { x 2 − 4 x + y 2 = 0 ( 2 ) ( x − 4 ) 2 + y 2  = 0 Từ (1), (2) ta có hệ: { x 2 + y 2 − 6 y = 16 x 2 + y 2 − 4 x = 0 ⇔ ⎣ ⎡ { x = 4 y = 0 { x = 13 16 y = 13 − 24 ⇒ z = 13 16 − 13 24 i .Vậy chỉ có 1 số phức z thỏa mãn Nhận xét: Học sinh thường mắc sai lầm là thiếu điều kiện z  = 4 dẫn đến không loại được nghiệm Cách 2: Vì + ) z − 4 z là thuần số ảo ⇒ z − 4 z = bi ( b ∈ R ) ⇒ z = − 1 + bi 4 bi ∣ z − 3 i ∣ = 5 ⇔ ∣ ∣ − 1 + bi 4 bi − 3 i ∣ ∣ = 5 ⇔ ∣ ∣ − 1 + bi 4 bi − 3 i . ( − 1 + bi ) ∣ ∣ = 5 ⇔ ∣ − 1 + bi ∣ ∣ 3 b + ( 3 + 4 b ) i ∣ = 5 ⇔ 9 b 2 + ( 3 + 4 b ) 2 = 25. ( 1 + b 2 ) ⇔ b = 3 2 .Vậy chỉ có 1 số phức z thỏa mãn.

Đáp án C

+ Điều kiện $z \neq = 4$ . Đặt $z = x + y i (x, y \in R)$
Cách 1:
+ Ta có

$∣ z - 3 i ∣ = 5 \Leftrightarrow x^{2} + (y - 3)^{2} = 5 \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} - 6 y = 16 (1) \frac{z}{z - 4} = \frac{x + y i}{x - 4 + y i} = \frac{( x + y i ) . [ ( x - 4 ) - y i ]}{( x - 4 ) ^{2} + y ^{2}} = \frac{x ^{2} - 4 x + y ^{2}}{( x - 4 ) ^{2} + y} - \frac{4 y i}{( x - 4 ) ^{2} + y}$

$+) \frac{z}{z - 4}$ là số thuần ảo $\Leftrightarrow \frac{x ^{2} - 4 x + y ^{2}}{( x - 4 ) ^{2} + y ^{2}} = 0 \Leftrightarrow {x^{2} - 4 x + y^{2} = 0 (2) (x - 4)^{2} + y^{2} \neq = 0$

Từ (1), (2) ta có hệ: ${x^{2} + y^{2} - 6 y = 16 x^{2} + y^{2} - 4 x = 0 \Leftrightarrow ⎣ ⎡ {x = 4 y = 0 {x = \frac{16}{13} y = \frac{- 24}{13}$

$\Rightarrow z = \frac{16}{13} - \frac{24}{13} i$ . Vậy chỉ có 1 số phức z thỏa mãn
Nhận xét: Học sinh thường mắc sai lầm là thiếu điều kiện z $\neq =$ 4 dẫn đến không loại được nghiệm

Cách 2: Vì $+) \frac{z}{z - 4}$ là thuần số ảo $\Rightarrow \frac{z}{z - 4} = bi (b \in R) \Rightarrow z = \frac{4 bi}{- 1 + bi}$

$∣ z - 3 i ∣ = 5 \Leftrightarrow ∣ ∣ \frac{4 bi}{- 1 + bi} - 3 i ∣ ∣ = 5 \Leftrightarrow ∣ ∣ \frac{4 bi - 3 i . ( - 1 + bi )}{- 1 + bi} ∣ ∣ = 5 \Leftrightarrow \frac{∣ 3 b + ( 3 + 4 b ) i ∣}{∣ - 1 + bi ∣} = 5$

$\Leftrightarrow 9 b^{2} + (3 + 4 b)^{2} = 25. (1 + b^{2}) \Leftrightarrow b = \frac{2}{3}$ . Vậy chỉ có 1 số phức z thỏa mãn.

Câu hỏi tương tự

Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau Hàm số đạt cực đại tại điểm

Xác nhận câu trả lời

Số nghiệm nguyên của bất phương trình 3. 9 x − 10. 3 x ≤ 0 là

Xác nhận câu trả lời

Tập nghiệm của bất phương trình: 2 2 x < 2 x + 6 là

Xác nhận câu trả lời

Cho hình lăng trụ tam giác đều A BC . A ′ B ′ C ′ c o ˊ A B = 2 3 v a ˋ A A ′ = 2 .Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm các cạnh A ′ B ′ , A ′ C ′ v a ˋ BC (tham khảo hình vẽ bên dưới). Côsin của gó...

Xác nhận câu trả lời

Trong không gian Oxyz cho điểm A ( 1 ; 1 ; 2 ) v a ˋ B ( 3 ; 4 ; 5 ) . Tọa độ vecto A B là

Xác nhận câu trả lời

THÔNG TIN

DỊCH VỤ

TẢI MIỄN PHÍ ỨNG DỤNG