Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn ∣ z − 3 i ∣ = 5 v a ˋ z − 4 z là số thuần ảo
Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn ∣z−3i∣=5vaˋz−4z là số thuần ảo
0
Vô số
1
2
NH
N. Huỳnh
Giáo viên
Xác nhận câu trả lời
Giải thích
Đáp án C
+ Điều kiện z = 4 . Đặt z = x + y i ( x , y ∈ R )
Cách 1:
+ Ta có
∣ z − 3 i ∣ = 5 ⇔ x 2 + ( y − 3 ) 2 = 5 ⇔ x 2 + y 2 − 6 y = 16 ( 1 ) z − 4 z = x − 4 + y i x + y i = ( x − 4 ) 2 + y 2 ( x + y i ) . [ ( x − 4 ) − y i ] = ( x − 4 ) 2 + y x 2 − 4 x + y 2 − ( x − 4 ) 2 + y 4 y i
+ ) z − 4 z là số thuần ảo ⇔ ( x − 4 ) 2 + y 2 x 2 − 4 x + y 2 = 0 ⇔ { x 2 − 4 x + y 2 = 0 ( 2 ) ( x − 4 ) 2 + y 2 = 0
Từ (1), (2) ta có hệ: { x 2 + y 2 − 6 y = 16 x 2 + y 2 − 4 x = 0 ⇔ ⎣ ⎡ { x = 4 y = 0 { x = 13 16 y = 13 − 24
⇒ z = 13 16 − 13 24 i .Vậy chỉ có 1 số phức z thỏa mãn
Nhận xét: Học sinh thường mắc sai lầm là thiếu điều kiện z = 4 dẫn đến không loại được nghiệm
Cách 2: Vì + ) z − 4 z là thuần số ảo ⇒ z − 4 z = bi ( b ∈ R ) ⇒ z = − 1 + bi 4 bi
∣ z − 3 i ∣ = 5 ⇔ ∣ ∣ − 1 + bi 4 bi − 3 i ∣ ∣ = 5 ⇔ ∣ ∣ − 1 + bi 4 bi − 3 i . ( − 1 + bi ) ∣ ∣ = 5 ⇔ ∣ − 1 + bi ∣ ∣ 3 b + ( 3 + 4 b ) i ∣ = 5
⇔ 9 b 2 + ( 3 + 4 b ) 2 = 25. ( 1 + b 2 ) ⇔ b = 3 2 .Vậy chỉ có 1 số phức z thỏa mãn.
Đáp án C
+ Điều kiện z=4. Đặt z=x+yi(x,y∈R)
Cách 1:
+ Ta có