Câu hỏi

Có bao nhiêu số nguyên x sao cho ứng với mỗi x có không quá 127 số nguyên y thỏa mãn lo g 3 ( x 2 + y ) ≥ lo g 2 ( x + y ) ?

Có bao nhiêu số nguyên x sao cho ứng với mỗi x có không quá 127 số nguyên y thỏa mãn $lo g_{3} (x^{2} + y) \geq lo g_{2} (x + y)$ ?

E. Elsa

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

Điều kiện: { x 2 + y > 0 x + y > 0 Ta có lo g 3 ( x 2 + y ) ≥ lo g 2 ( x + y ) ⇔ x 2 + y ≥ 3 l o g 2 ( x + y ) ⇔ x 2 + y ≥ ( x + y ) l o g 2 3 x 2 − x ≥ ( x + y ) l o g 2 ( 3 ) − ( x + y ) ( 1 ) Đặt t = x + y , ( t > 0 ) thì ( 1 ) trở thành x 2 − x ≥ t l o g 2 3 − t ( 2 ) Với mỗi x nguyên cho trước có không quá 127 số nguyên y thỏa mãn bất phương trình (1) tương đương vớibất phương trình (2) có không quá 127 nghiệm t nguyên dương. Ta có hàm số f ( t ) = t l o g 2 3 − t đồng biến trên [ 1 ; + ∞ ) nên nếu x 2 − x > 12 8 l o g 2 3 − 128 = 2059 thì sẽ có ít nhất 127nghiệm nguyên t ≥ 1 Do đó yêu cầu bài toán tương đương với x 2 − x ≤ 2059 ⇔ − 44 ≤ x ≤ 45 (do x nguyên) Vậy có 90 số nguyên x

Điều kiện: ${x^{2} + y > 0 x + y > 0$

Ta có $lo g_{3} (x^{2} + y) \geq lo g_{2} (x + y) \Leftrightarrow x^{2} + y \geq 3^{l o g_{2} (x + y)} \Leftrightarrow x^{2} + y \geq (x + y)^{l o g_{2} 3}$

$x^{2} - x \geq (x + y)^{l o g_{2} (3)} - (x + y) (1)$

Đặt $t = x + y, (t > 0)$ thì $(1)$ trở thành $x^{2} - x \geq t^{l o g_{2} 3} - t (2)$

Với mỗi x nguyên cho trước có không quá 127 số nguyên y thỏa mãn bất phương trình (1) tương đương với bất phương trình (2) có không quá 127 nghiệm t nguyên dương.

Ta có hàm số $f (t) = t^{l o g_{2} 3} - t$ đồng biến trên $[1; + \infty)$ nên nếu $x^{2} - x > 12 8^{l o g_{2} 3} - 128 = 2059$ thì sẽ có ít nhất 127 nghiệm nguyên $t \geq 1$

Do đó yêu cầu bài toán tương đương với $x^{2} - x \leq 2059 \Leftrightarrow - 44 \leq x \leq 45$ (do x nguyên)

Vậy có 90 số nguyên x

Câu hỏi tương tự

Xét các số thực thỏa mãn . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức là:

Xác nhận câu trả lời

Phương trình có nghiệm khi

Xác nhận câu trả lời

Với x là số dương, y là số thực tùy ý, tìm tập hợp mọi giá trị của biểu thức A = ( x 2 + 3 y 2 ) ( x + x 2 + 12 y 2 ) x y 2

Xác nhận câu trả lời

Trong không gianvới hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2;1;2) và đường thẳng d : ⎩ ⎨ ⎧ x = 2 + t y = t z = 3 + t . Tìm trên d hai điểm A, B sao cho tam giác ABM đều.

Xác nhận câu trả lời

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 4 y − 6 z − 11 = 0 và mặt phẳng ( α ) : 2 x + 2 y − z + 17 = 0 . Viết phương trình mặt phẳng ( β ) song son...

Xác nhận câu trả lời

THÔNG TIN

DỊCH VỤ

TẢI MIỄN PHÍ ỨNG DỤNG