Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số y = ∣ ∣ ​ 3 x 4 − 4 x 3 − 12 x 2 + m ∣ ∣ ​ có 5 điểm cực trị

Giải thích

Chọn C Tập xác định: D = R Ta có đạo hàm của ( ∣ f ( x ) ∣ ) ′ = ( f 2 ( x ) ​ ) ′ = 2 f 2 ( x ) ​ 2 f ( x ) . f ′ ( x ) ​ = ∣ f ( x ) ∣ f ( x ) . f ′ ( x ) ​ , suy ra Đạo hàm y ′ = ∣ 3 x 4 − 4 x 3 − 12 x 2 + m ∣ ( 12 x 3 − 12 x 2 − 24 x ) ( 3 x 4 − 4 x 3 − 12 x 2 + m ) ​ , từ đây ta có Xét phương trình ( 12 x 3 − 12 x 2 − 24 x ) ( 3 x 4 − 4 x 3 − 12 x 2 + m ) = 0 ⇔ [ 12 x 3 − 12 x 2 − 24 x = 0 3 x 4 − 4 x 3 − 12 x 2 + m = 0 ​ ⇔ ⎣ ⎡ ​ x = 0 x = − 1 x = 2 3 4 − 4 x 3 − 12 x 2 = − m ( ∗ ) ​ Xét hàm số g ( x ) = 3 x 4 − 4 x 3 − 12 x 2 trên R và g ′ ( x ) = 0 ⎣ ⎡ ​ x = 0 x = − 1 x = 2 ​ . Bảng biến thiên của g ( x ) như sau: Hàm số đã cho có 5 điểm cực trị khi và chỉ khi tổng số nghiệm bội lẻ của y'=0 và số điểm tới hạn của y' là 5, do đó ta cần có các trường hợp sau TH1: Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác − 1 ; 0 ; 2 ⇔ [ − m > 0 − 32 < − m < − 5 ​ ⇔ [ m < 0 5 < − m < 32 ​ , trường hợp này có 26 số nguyên dương. TH2: Phương trình (*) có 3 nghiệm trong đó có một nghiệm kép trùng với một trong các nghiệm − 1 ; 0 ; 2 ⇔ [ − m = 0 − m = − 5 ​ ⇔ [ m = 0 m = 5 ​ , trường hợp này có một số nguyên dương. Vậy có tất cả là 27 số nguyên dương thỏa mãn bài toán.