Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để tồn tại các số thực x;y thỏa mãn đồng thời e 3 x + 5 y − 10 − e x + 3 y − 9 = 1 − 2 x − 2 y và lo g 2 5 ​ ( 3 x + 2 y + 4 ) − ( m + 6 ) lo g 5 ​ ( x + 5 ) + m 2 + 9 = 0

Giải thích

Ta có : e 3 x + 5 y − 10 − e x + 3 y − 9 = 1 − 2 x − 2 y ⇔ e 3 x + 5 y − 10 − e x + 3 y − 9 = ( x + 3 y − 9 ) − ( 3 x + 5 y − 10 ) ⇔ e 3 x + 5 y − 10 + ( 3 x + 5 y − 10 ) = e x + 3 y − 9 + ( x + 3 y − 9 ) ( 1 ) Do hàm số f ( t ) = e t + t đồng biến trên ( − ∞ ; + ∞ ) nên : ( 1 ) ⇔ 3 x + 5 y − 10 = x + 3 y − 9 ⇔ 2 x + 2 y = 1 Khi đó phương trình : lo g 2 5 ​ ( 3 x + 2 y + 4 ) − ( m + 6 ) lo g 5 ​ ( x + 5 ) + m 2 + 9 = 0 ⇔ lo g 2 5 ​ ( x + 5 ) − ( m + 6 ) lo g 5 ​ ( x + 5 ) + m 2 + 9 = 0 Đặt t = lo g 5 ​ ( x + 5 ) , t ∈ R . Phương trình đã cho trở thành : t 2 − ( m + 6 ) t + m 2 + 9 = 0 (2) (2) có nghiệm : ⇔ △ = ( m + 6 ) 2 − 4 ( m 2 + 9 ) = − 3 m 2 + 12 m ≥ 0 ⇔ 0 ≤ m ≤ 4 . Vậy số giá trị nguyên dương của tham số mthỏa mãn là 4giá trị .