Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số mtrong [ − 2020 ; 2020 ] để phương trình lo g ( m x ) = 2 lo g ( x + 1 ) có nghiệm duy nhất?

Giải thích

Phương trình đã cho tương đương với { m x = ( x + 1 ) 2 x + 1 > 0 ​ ⇔ { x 2 + x ( 2 − m ) + 1 = 0 ( 1 ) x > − 1 ​ Yêu cầu bài toán tương đương với (1) có nghiệm duy nhất trong ( − 1 ; + ∞ ) Trường hợp 1. (1) có nghiệm kép △ = 0 ⇔ m 2 − 4 m = 0 ⇔ [ m = 0 m = 4 ​ . Thử lại: m=0 thì phương trình có nghiệm x=-1 loại; m=4 thì phương trình có nghiệm x=1 thỏa mãn; Trường hợp 2. (1) có nghiệm là − 1 ⇔ ( − 1 ) 2 + ( − 1 ) ( 2 − m ) + 1 = 0 ⇔ m = 0. Thử lại thấy không thỏa mãn. Trường hợp 3. (1) có 2 nghiệm là x 1 ​ , x 2 ​ và x 1 ​ < − 1 < x 2 ​ ⇔ { △ > 0 ( x 1 ​ + 1 ) ( x 2 ​ + 1 ) < 0 ​ ⇔ { m 2 − 4 m > 0 x 1 ​ x 2 ​ + x 1 ​ + x 2 ​ + 1 < 0 ​ ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ ​ [ m > 4 m < 0 ​ 1 + m − 2 + 1 < 0 ​ ⇔ m < 0. Vậy có 2020 giá trị nguyên của tham số m.