Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = x 9 + ( m − 2 ) x 7 − ( m 2 − 4 ) x 6 + 7 đạt cực tiểu tại x = 0 ?

Giải thích

y ′ = 9 x 8 + 7 ( m − 2 ) x 6 − 6 ( m 2 − 4 ) x 5 ⇒ y ′ ( 0 ) = 0 , ∀ m ∈ Z y ′′ = 9.8 x 7 + 7.6 ( m − 2 ) x 5 − 6.5 ( m 2 − 4 ) x 4 ⇒ y ′′ ( 0 ) = 0 , ∀ m ∈ Z Ta nhận thấy y ′′′ ( 0 ) = y ( 4 ) ( 0 ) = y ( 5 ) ( 0 ) , ∀ m ∈ Z Ta có : y ( 6 ) = 9.8.7.6.5.4 x 3 + 7.6.5.4.3.2 ( m − 2 ) x − 6.5.4.3.2.1 ( m 2 − 4 ) ⇒ y ( 6 ) ( 0 ) = − 6.5.4.3.2.1 ( m 2 − 4 ) *TH1: y ( 6 ) ( 0 ) = 0 ⇔ [ m = 2 m = − 2 ​ thì: + m = 2 ⇒ y ′ = 9 x 8 ≥ 0 , ∀ x ∈ R nên hàm số đồng biến trên R nên không đạt cực trị tại x = 0 . + m = − 2 ⇒ y ′ = x 6 ( 9 x 8 − 28 ) không đổi dấu khi qua x = 0 nên không đạt cực trị tại x = 0 . *TH2: y ( 6 ) ( 0 )  = 0 ⇔ m  = ± 2 Khi đó để hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 thì cần thêm y ( 6 ) ( 0 ) > 0 ⇔ − 6.5.4.3.2.1 ( m 2 − 4 ) > 0 ⇔ m 2 − 4 < 0 ⇔ − 2 < m < 2 ⇒ m ∈ { − 1 ; 0 ; 1 } . Vậy có 3 giá trị nguyên của tham số m.